Decida se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+2 n}{3 n^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} + 2n}{3n^{2} + 5}.
O conteúdo é teste de convergência de série numérica e vamos aplicar o teste do termo geral (ou teste da divergência).

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty} \frac{n^{2} + 2n}{3n^{2} + 5} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 + 2/n}{3 + 5/n^{2}} = \frac{1}{3}.
Como esse limite é diferente de zero, o termo geral não tende a zero.

Passo 3

Pelo teste do termo geral, se \lim_{n\to\infty}a_n \neq 0 então a série \sum a_n diverge.

Resposta

A série diverge.

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