Decida se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} \rightarrow

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o estudo de séries infinitas, mais especificamente séries geométricas.

Passo 2

Lembrando que uma série geométrica genérica é
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n},
onde r é a sua razão. Sabemos que:
  • Se \lvert r\rvert<1, a série converge e sua soma vale
S=\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
  • Se \lvert r\rvert\ge1, a série diverge.

Passo 3

No nosso caso, r=\tfrac{2}{3}. Como
\bigl\lvert\tfrac{2}{3}\bigr\rvert=\tfrac{2}{3}<1,
concluímos que a série converge. Além disso, sua soma é
S=\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}} =2.

Resposta

A série converge (é uma série geométrica com \lvert r\rvert<1) e sua soma é 2.

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