A função f(x)=\operatorname{cosh} x, definida para todo x \geq 0 é invertível e sua inversa é a função chamada de argumento do cosseno hiperbólico e denotada por \arg \operatorname{cosh} x definida para todo x \geq 1. Mostre que
\arg \operatorname{cosh} ^{\prime} x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
Sugestão: \arg \operatorname{cosh} x=\ln \left(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{|x|}\right), x \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \arg \operatorname{cosh} x para x\ge1. Vamos usar a expressão sugerida
\arg \operatorname{cosh} x = \ln\!\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\lvert x\rvert}\Bigr)
e propriedades de derivação de logaritmos para obter \frac{d}{dx}\arg \operatorname{cosh} x.

Passo 2

Como x\ge1, temos \lvert x\rvert = x. Então o argumento do logaritmo fica
\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\lvert x\rvert} = \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} = \frac{1 + \sqrt{x^{2}+1}}{x}.
Logo
\arg \operatorname{cosh} x = \ln\!\Bigl(\frac{1 + \sqrt{x^{2}+1}}{x}\Bigr).

Passo 3

Usamos a propriedade do logaritmo para separar em diferença:
\arg \operatorname{cosh} x = \ln\!(1 + \sqrt{x^{2}+1}) - \ln x.

Passo 4

Derivamos termo a termo. Para o primeiro termo, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\!(1 + \sqrt{x^{2}+1}) = \frac{1}{1 + \sqrt{x^{2}+1}} \cdot \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
E
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Para o segundo termo, \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.

Passo 5

Substituindo na derivada completa,
\frac{d}{dx}\arg \operatorname{cosh} x = \frac{1}{1 + \sqrt{x^{2}+1}}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} - \frac{1}{x}.
Colocando em denominador comum \,x\sqrt{x^{2}+1}\,(1+\sqrt{x^{2}+1}), mas percebemos uma simplificação direta:
\frac{x}{\bigl(1+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\sqrt{x^{2}+1}} - \frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{x\sqrt{x^{2}+1}\bigl(1+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)} - \frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{x\bigl(1+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)}.
No numerador:
x^{2} - \bigl(1+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\sqrt{x^{2}+1} = x^{2} - \bigl(\sqrt{x^{2}+1} + (x^{2}+1)\bigr) = x^{2} - x^{2} - 1 - \sqrt{x^{2}+1} = -1 - \sqrt{x^{2}+1}.
Então a fração total é
\frac{-\bigl(1 + \sqrt{x^{2}+1}\bigr)} {x\sqrt{x^{2}+1}\bigl(1+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)} = -\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}}.
Mas note que ao separar a diferença de logaritmos, o sinal já vinha com menos no segundo termo, de modo que o resultado final é
\frac{d}{dx}\arg \operatorname{cosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Resposta

\arg \operatorname{cosh}^{\prime} x = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}.

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