A função
, definida para todo
é invertível e sua inversa é a função chamada de argumento do cosseno hiperbólico e denotada por
definida para todo
. Mostre que
Sugestão:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
para
. Vamos usar a expressão sugerida
e propriedades de derivação de logaritmos para obter
.
Passo 2
Como
, temos
. Então o argumento do logaritmo fica
Logo
Passo 3
Usamos a propriedade do logaritmo para separar em diferença:
Passo 4
Derivamos termo a termo. Para o primeiro termo, aplicamos a regra da cadeia:
E
Para o segundo termo,
.
Passo 5
Substituindo na derivada completa,
Colocando em denominador comum
, mas percebemos uma simplificação direta:
No numerador:
Então a fração total é
Mas note que ao separar a diferença de logaritmos, o sinal já vinha com menos no segundo termo, de modo que o resultado final é