Determine a derivada das funções:
g(x)=\arcsin x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\arcsin\bigl(x^3\bigr).
O conteúdo aqui é a derivada de uma função composta, usando a regra da cadeia, e a fórmula da derivada de \arcsin t.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos a parte interna e a externa da composição. Seja
u(x)=x^3,
de modo que
g(x)=\arcsin\bigl(u(x)\bigr).
A derivada de u é
u'(x)=3x^2.

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia. Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl[\arcsin t\bigr]=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}.
Aplicando em t=u(x) e multiplicando por u'(x), obtemos
g'(x) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^2}} =\frac{3x^2}{\sqrt{1-(x^3)^2}} =\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}.

Resposta

g'(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}.

Exercícios relacionados