Analise a continuidade da função abaixo no seu domínio.
f(x)=l raizx-1x^2-1, se x neq pm 1 raiz22, se x=1 0, se x=-1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= raizdfracx-1x^2-1,&xneqpm1, dfracraiz22,&x=1, 0,&x=-1,
e pede para estudar a continuidade de f no seu domínio. Vamos primeiro encontrar esse domínio e depois verificar continuação nos pontos internos e nas “quebras” x=-1 e x=1.

Passo 2

Para xneqpm1 temos a parte
raizx-1x^2-1 =raizx-1(x-1)(x+1) =raiz1x+1,,
portanto o radicando exige
1x+1>=0 Longrightarrow x+1>0 Longrightarrow x>-1,
além de excluir x=1 e x=-1. Assim a parte com raiz está definida para
xin(-1,1)cup(1,infty)
Como ainda foi dada uma definição para x=-1 e x=1, o domínio de f é
[-1,infty)

Passo 3

Em cada intervalo aberto (-1,1) e (1,infty), f(x)=raiz1/(x+1) é composição de funções contínuas, logo contínua nessas partes internas do domínio.

Passo 4

No ponto x=1 temos
limxto1^-f(x) =limxto1^-raiz1x+1 =raiz12 =raiz22,
limxto1^+f(x) =limxto1^+raiz1x+1 =raiz22,
e foi dado f(1)=raiz2/2. Como o limite bilateral existe e coincide com f(1), f é contínua em x=1.

Passo 5

No ponto x=-1 o valor é f(-1)=0, mas
limxto-1^+f(x) =limxto-1^+raiz1x+1 =+infty,
logo não existe limite finito e f não é contínua em x=-1.

Resposta

A função f é contínua em todo o seu domínio salvo em x=-1.

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