Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x,-2 y+e^x cos z, z+x^2) através da superfície S definida por
z=9-(x^2+y^2), & 0 <= z <= 5 z=5, & 1 <= x^2+y^2 <= 4 z=8-3(x^2+y^2), & x^2+y^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = l(x,,-2y + e^xcos z,;z + x^2r)
através da superfície fechada S definida pelas três peças
z = 9 - (x^2+y^2),&0<= z<=5, z = 5,&1<= x^2+y^2<=4, z = 8 - 3(x^2+y^2),&x^2+y^2<=1
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que converte o fluxo de uma superfície fechada numa integral de volume do divergente.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência (ou Gauss), o fluxo de F através de S é
integral duplaSFcdotn,dS ;=;integral triplaVnabla!cdotF;dV,
onde V é o volume limitado por S.

Passo 3

Calculamos o divergente de F:
nabla!cdotF =partialpartial x(x) +partialpartial yl(-2y+e^xcos zr) +partialpartial z(z+x^2) =1 +(-2)+1 = 0

Passo 4

Como nabla!cdotF=0 em todo V, a integral de volume é nula:
integral triplaV0,dV = 0
Logo, pelo Teorema da Divergência, o fluxo total através de S é zero.

Resposta

O fluxo de F através de S é 0.

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