Calcule
, onde
é a interseção da superfície
com o plano
. Indique a orientação escolhida. (resp.: 4, de
para
.)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
é a curva de interseção da superfície da semiesfera
com o plano
.
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, e vamos parametrizar de modo a facilitar o cálculo.
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, e vamos parametrizar
Passo 2
Para achar
, note que ela é também a interseção da esfera
com o plano
.
- A distância do centro
ao plano é
- Logo o círculo de interseção tem centro
e raio
.
Além dissoestá acima do plano , pois .
Passo 3
Escolhemos uma base ortonormal do plano
:
Então uma parametrização simples é
com
variando de
a
.
Para temos
e para
obtemos
, ou seja, a orientação vai de
para
.
Para
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Passo 5
No ponto
temos
O integrando é
Substituindo e simplificando (usar identidades trigonométricas e integrar termo a termo) mostra-se que só fica a parte
,
pois todos os outros termos se cancelam.
pois todos os outros termos se cancelam.
Passo 6
Calculamos
Resposta
O valor da integral é
, tomando a orientação de
para
.