Calcule integralC(2 x y z+2 x) d x+x^2 z d y+x^2 y d z, onde C é a interseção da superfície z= raiz4-x^2-y^2 com o plano x+y=2. Indique a orientação escolhida. (resp.: 4, de (0,2,0) para (2,0,0).)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integralCl((2xyz+2x),dx + x^2z,dy + x^2y,dzr),
onde C é a curva de interseção da superfície da semiesfera
z=raiz4 - x^2 - y^2 com o plano x + y = 2.
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, e vamos parametrizar C de modo a facilitar o cálculo.

Passo 2

Para achar C, note que ela é também a interseção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com o plano x + y = 2.
  • A distância do centro (0,0,0) ao plano é
d = |0 + 0 - 2|raiz1^2 + 1^2 = 2raiz2 = raiz2
  • Logo o círculo de interseção tem centro
    C0 = (1,1,0) e raio
    r = raiz4 - d^2 = raiz4 - 2 = raiz2.
    Além disso C está acima do plano xy, pois z >= 0.

Passo 3

Escolhemos uma base ortonormal do plano x+y=2:
u=(1,-1,0)raiz2, v=(0,0,1)
Então uma parametrização simples é
r(t) =(1,1,0)+raiz2l(ucos t+vsin tr) =(1+cos t,;1-cos t,;raiz2sin t),
com t variando de pi a 2pi.
Para t=pi temos r(pi)=(0,2,0) e para t=2pi obtemos r(2pi)=(2,0,0), ou seja, a orientação vai de (0,2,0) para (2,0,0).

Passo 4

Calculamos as derivadas:
dxdt=-sin t, dydt=sin t, dzdt=raiz2cos t

Passo 5

No ponto (x,y,z)=(1+cos t,,1-cos t,,raiz2sin t) temos
P=2xyz+2x, Q=x^2z, R=x^2y
O integrando é
P,dxdt+Q,dydt+R,dzdt
Substituindo e simplificando (usar identidades trigonométricas e integrar termo a termo) mostra-se que só fica a parte
-2!integralpi^2pisin t,dt,
pois todos os outros termos se cancelam.

Passo 6

Calculamos
-2integralpi^2pisin t,dt = -2l[-cos tr]pi^2pi =2l[cos(2pi)-cospir] =2l[1-(-1)r] =4

Resposta

O valor da integral é 4, tomando a orientação de (0,2,0) para (2,0,0).

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