Analise a continuidade da função h(x)=\frac{x-5}{x^{2}-25}. Em quais pontos a função é descontínua?

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\dfrac{x-5}{x^{2}-25} e pede para analisar a continuidade — isto é, identificar em quais pontos a função é descontínua.
Informações dadas:
  • A expressão da função é h(x)=\dfrac{x-5}{x^{2}-25}.
  • Não há outras informações (como valores atribuídos em pontos isolados).
O que precisa ser respondido:
  • Quais pontos da reta real fazem h ser descontínua (se houver).
  • Se possível, classificar o tipo de descontinuidade (removível, do tipo infinito, etc.) — vou fazer isso na resolução, pois ajuda a entender como tratar cada ponto na prova.

Passo 2

Entender onde a função está definida (domínio). Uma função dada por quociente só pode existir onde o denominador é diferente de zero. Então vamos resolver
x^{2}-25=0.
Factorizando o denominador:
x^{2}-25=(x-5)(x+5).
As raízes são x=5 e x=-5. Portanto o denominador é zero exatamente nesses dois pontos, então a expressão original não está definida em x=5 nem em x=-5. Conclui-se que o domínio da expressão dada é
\mathbb{R}\setminus\{-5,5\}.
Observação importante (fato útil para continuidade): uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em todo ponto do seu domínio. Logo, já sabemos que para todo x real diferente de -5 e 5, a função é contínua. Só restam a analisar os pontos x=5 e x=-5.

Passo 3

Analisar o ponto x=5. Primeiro verificar se a expressão pode ser simplificada algebraicamente para perceber o comportamento ao redor de 5. Se x\neq5 podemos cancelar o fator comum (x-5):
\text{para }x\neq5:\qquad h(x)=\frac{x-5}{(x-5)(x+5)}=\frac{1}{x+5}.
Isso significa que, para qualquer x diferente de 5, h(x)=\dfrac{1}{x+5}. Em particular, para x próximos de 5 (mas diferentes de 5), h(x) comporta-se como \dfrac{1}{x+5}.
Calcular o limite quando x\to5:
\lim_{x\to5} h(x)=\lim_{x\to5}\frac{1}{x+5}=\frac{1}{5+5}=\frac{1}{10}.
Portanto o limite existe e é \dfrac{1}{10}. Contudo, a função original h não está definida em x=5 (pois o denominador original zera lá). Pela definição de continuidade (uma função é contínua em a se a pertence ao domínio, \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a)), aqui falta o terceiro item: h(5) não existe. Logo h é descontínua em x=5. Como o limite existe finito, essa descontinuidade é do tipo removível (poder-se-ia “consertar” definindo h(5)=1/10).

Passo 4

Analisar o ponto x=-5. Para x próximo de -5 (e x\neq5, o que é verdade quando estamos perto de -5), vale também a simplificação h(x)=\dfrac{1}{x+5}. Então vamos estudar
\lim_{x\to-5} h(x)=\lim_{x\to-5}\frac{1}{x+5}.
Aqui x+5 tende a 0 quando x\to-5. Fazendo análise dos lados:
  • Se x\to-5^{+} (pela direita), então x+5>0 é um número positivo muito pequeno, logo \dfrac{1}{x+5}\to +\infty.
  • Se x\to-5^{-} (pela esquerda), então x+5<0 é um número negativo muito pequeno, logo \dfrac{1}{x+5}\to -\infty.
Como as duas limites laterais não coincidem (um vai para +\infty e outro para -\infty), o limite \lim_{x\to-5} h(x) não existe (diverge). Além disso h não está definida em x=-5. Portanto h é descontínua em x=-5. Este tipo de descontinuidade é uma descontinuidade infinita (ou essencial do tipo assintótico): há um comportamento de tipo assíntota vertical em x=-5.

Passo 5

Recapitulando e concluindo:
  • Para todo x\in\mathbb{R} com x\neq -5,5, h é contínua (porque é uma função racional com denominador não nulo nesses pontos).
  • Em x=5 a função tem limite finito \dfrac{1}{10} porém h(5) não está definida → descontinuidade removível em x=5.
  • Em x=-5 a função tem divergência (limites laterais infinitos distintos) e não está definida → descontinuidade do tipo infinito (assíntota vertical) em x=-5.
Um exemplo rápido para fixar a ideia: \dfrac{x^{2}-1}{x-1} simplifica para \dfrac{x+1}{1} quando x\neq1, tem limite 2 em x\to1 mas não está definida em 1 — é exatamente um caso análogo ao de x=5 aqui (descontinuidade removível).

Resposta

\,x=-5 e \,x=5

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