Analise a continuidade da função
. Em quais pontos a função é descontínua?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para analisar a continuidade — isto é, identificar em quais pontos a função é descontínua.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão da função é
. - Não há outras informações (como valores atribuídos em pontos isolados).
O que precisa ser respondido:
- Quais pontos da reta real fazem
ser descontínua (se houver). - Se possível, classificar o tipo de descontinuidade (removível, do tipo infinito, etc.) — vou fazer isso na resolução, pois ajuda a entender como tratar cada ponto na prova.
Passo 2
Entender onde a função está definida (domínio). Uma função dada por quociente só pode existir onde o denominador é diferente de zero. Então vamos resolver
Factorizando o denominador:
As raízes são
e
. Portanto o denominador é zero exatamente nesses dois pontos, então a expressão original não está definida em
nem em
. Conclui-se que o domínio da expressão dada é
Observação importante (fato útil para continuidade): uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em todo ponto do seu domínio. Logo, já sabemos que para todo
real diferente de
e
, a função é contínua. Só restam a analisar os pontos
e
.
Passo 3
Analisar o ponto
. Primeiro verificar se a expressão pode ser simplificada algebraicamente para perceber o comportamento ao redor de
. Se
podemos cancelar o fator comum
:
Isso significa que, para qualquer
diferente de
,
. Em particular, para
próximos de
(mas diferentes de
),
comporta-se como
.
Calcular o limite quando
:
Portanto o limite existe e é
. Contudo, a função original
não está definida em
(pois o denominador original zera lá). Pela definição de continuidade (uma função é contínua em
se
pertence ao domínio,
existe e é igual a
), aqui falta o terceiro item:
não existe. Logo
é descontínua em
. Como o limite existe finito, essa descontinuidade é do tipo removível (poder-se-ia “consertar” definindo
).
Passo 4
Analisar o ponto
. Para
próximo de
(e
, o que é verdade quando estamos perto de
), vale também a simplificação
. Então vamos estudar
Aqui
tende a
quando
. Fazendo análise dos lados:
- Se
(pela direita), então é um número positivo muito pequeno, logo . - Se
(pela esquerda), então é um número negativo muito pequeno, logo .
Como as duas limites laterais não coincidem (um vai para
e outro para
), o limite
não existe (diverge). Além disso
não está definida em
. Portanto
é descontínua em
. Este tipo de descontinuidade é uma descontinuidade infinita (ou essencial do tipo assintótico): há um comportamento de tipo assíntota vertical em
.
Passo 5
Recapitulando e concluindo:
- Para todo
com , é contínua (porque é uma função racional com denominador não nulo nesses pontos). - Em
a função tem limite finito porém não está definida → descontinuidade removível em . - Em
a função tem divergência (limites laterais infinitos distintos) e não está definida → descontinuidade do tipo infinito (assíntota vertical) em .
Um exemplo rápido para fixar a ideia:
simplifica para
quando
, tem limite
em
mas não está definida em
— é exatamente um caso análogo ao de
aqui (descontinuidade removível).