Analise a continuidade das funções abaixo:
f(x)=clx-1raizx-1 & se x>1 5-3 x & se -2 <= x <= 1 6x-4 & se x<-2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função
f(x)= x-1raizx-1, & x>1,[6pt] 5-3x, & -2<= x<=1,[3pt] 6x-4, & x<-2
O conteúdo é continuidade de função definida por partes. Vamos encontrar o domínio de cada ramo, verificar a continuidade em cada intervalo aberto e depois checar as “quebras” em x=-2 e x=1.]

Passo 2

Determinação do domínio de cada ramo:
1. Para x>1, temos raizx-1 no denominador, exigindo x-1>0. Logo esse ramo existe exatamente em (1,infty).
2. Para -2<= x<=1, a expressão 5-3x é um polinômio, definido em todo o intervalo fechado [-2,1].
3. Para x<-2, a expressão tfrac6x-4 só falha se x=4, mas 4 não pertence a x<-2. Logo esse ramo existe em (-infty,-2).
O domínio total de f é (-infty,-2)cup[-2,1]cup(1,infty).

Passo 3

Continuidade nos intervalos abertos de cada ramo:
  • Em (1,infty), reescrevemos
x-1raizx-1 = raizx-1,
que é contínua em todo (1,infty).
  • Em (-2,1), o ramo 5-3x é um polinômio, logo contínuo em todo R, em particular em (-2,1).
  • Em (-infty,-2), o ramo tfrac6x-4 é uma função racional sem zeros de denominador ali, logo contínua em (-infty,-2).

Passo 4

Ponto de transição em x=1:
  • O valor de f em 1 é dado pelo ramo do meio:
f(1)=5-3cdot1=2
  • O limite pela direita, usando raizx-1, é
limxto1^+f(x)=limxto1^+raizx-1=0
Como limxto1^+f(x)=0neq f(1)=2, há descontinuidade em x=1.

Passo 5

Ponto de transição em x=-2:
  • O valor de f em -2 é pelo ramo do meio:
f(-2)=5-3(-2)=5+6=11
  • O limite pela esquerda, usando tfrac6x-4, é
limxto(-2)^-f(x)=limxto-2^-6x-4=6-2-4=6-6=-1
Como limxto-2^-f(x)=-1neq f(-2)=11, há descontinuidade em x=-2.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos do domínio, exceto em x=-2 e em x=1. Portanto, f é contínua nos intervalos
(-infty,-2),(-2,1),(1,infty)

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