Para que valores de x as funções são contínuas?
g(x)=raizx+3x-3

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de x a função
g(x) = raizx+3x-3
é contínua. O conteúdo envolvido é análise de domínio de funções compostas (racional dentro de raiz quadrada) e continuidade de funções elementares.

Passo 2

Para que g(x) exista, precisamos que o denominador seja diferente de zero e que o radicando seja não\mbox{-}negativo. Isso gera duas condições:
1. x-3 neq 0, ou seja, x neq 3.
2. x+3x-3 >= 0.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade
x+3x-3 >= 0
Os zeros do numerador e do denominador são x=-3 e x=3, respectivamente. Testando intervalos:
  • Em x<-3: numerador <0, denominador <0 Rightarrow quociente >0.
  • Em -3<x<3: numerador >0, denominador <0 Rightarrow quociente <0.
  • Em x>3: numerador >0, denominador >0 Rightarrow quociente >0.
    No ponto x=-3 o quociente é zero, permitido dentro da raiz. Em x=3 o denominador anula, proibido.

Passo 4

Combinando as condições, o domínio de g é
(-infty,-3] cup (3,infty)

Passo 5

Como g é composta de funções contínuas (função racional no interior da raiz e raiz quadrada), ela é contínua em todo ponto do seu domínio.

Resposta

A função g é contínua para
x in (-infty,-3] cup (3,infty)

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