Analise a continuidade das funções abaixo:
g(x)=cl2 x^4 sen(1 / x) & se x neq 0 5 & se x=0

Passo 1

O enunciado define a função por partes
g(x)= 2x^4sinl(1/xr),&xneq0, 5,&x=0
Queremos analisar a continuidade em cada ponto de R. Para isso, vamos:
  1. Calcular limxto02x^4sin(1/x) usando o Teorema do Confronto.
  2. Comparar esse limite com o valor g(0)=5.
  3. Verificar a continuidade para xneq0, onde a expressão é combinação de funções contínuas.

Passo 2

Para xneq0, temos
l|2x^4sin(1/x)r|<=2|x|^4cdot1=2|x|^4
Como
limxto02|x|^4=0,
pelo Teorema do Confronto segue
limxto02x^4sin(1/x)=0

Passo 3

O valor da função em zero é g(0)=5, mas o limite que encontramos é 0. Como
limxto0g(x)=0neq g(0)=5,
g é descontinua em x=0. Trata-se de uma descontinuidade removível (bastaria definir g(0)=0).

Passo 4

Para xneq0, a função g(x)=2x^4sin(1/x) é produto e composição de polinômio e sin, todas contínuas em seus domínios, logo g é contínua em Rsetminus0.

Resposta

A função g é contínua para todo xneq0 e descontinua em x=0.

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