Para cada par de proposições
e
abaixo, em que a variável
denota um número natural, diga se
é condição necessária ou suficiente para
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar duas proposições matemáticas onde
é um número natural. Queremos descobrir se a proposição
é uma condição necessária ou suficiente para a proposição
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são condições necessárias e suficientes na lógica matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma condição necessária e uma condição suficiente.
-
Condição Necessária: Se dissermos que
é uma condição necessária para , significa que, para que seja verdadeira, também precisa ser verdadeira. Em outras palavras, não pode acontecer sem que aconteça. -
Condição Suficiente: Já se
é uma condição suficiente para , quer dizer que se é verdadeira, então também é verdadeira. Ou seja, garante que aconteça.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso às nossas proposições:
Vamos verificar se
é uma condição necessária para
:
Para
ser necessária para
, sempre que
for verdadeira,
também deve ser verdadeira. Então, se
, será que
? Não necessariamente. Por exemplo, se
,
é verdadeira (
), mas
não (
é falso). Portanto,
não é uma condição necessária para
.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é uma condição suficiente para
:
Para
ser suficiente para
, sempre que
for verdadeira,
também deve ser verdadeira. Ou seja, se
, será que
? Sim! Se
, certamente
também é verdadeiro.