Para cada par de proposições
e
abaixo, em que a variável
denota um número natural, diga se
é condição necessária ou suficiente para
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai analisar duas proposições matemáticas envolvendo desigualdades e entender se uma delas é condição necessária ou suficiente para a outra. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de lógica matemática relacionados a condições necessárias e suficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são condição necessária e condição suficiente.
-
Condição Necessária: É uma condição que precisa ser verdadeira para que outra condição seja verdadeira. Se a conclusão (q) é verdadeira, então a condição necessária § também deve ser verdadeira.
-
Condição Suficiente: É uma condição que, se verdadeira, garante a verdade da outra condição. Se a condição suficiente § é verdadeira, então a conclusão (q) também é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso às nossas proposições:
Queremos saber se
é condição necessária ou suficiente para
.
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
-
Verificando se
é condição necessária para : Seé verdadeiro, ou seja, , então necessariamente também é verdadeiro. Portanto, para que seja verdade, precisa ser verdade também. -
Verificando se
é condição suficiente para : Seé verdadeiro, ou seja, , isso não garante que . Por exemplo, se , é verdadeiro, mas não é.
Resposta
Portanto,
é uma condição necessária para
.