Determine todos os valores das constantes A e B para que a função seja contínua para todos os valores de x.
g(x)=ccA^2 x-A & se x >= 3 4 & se x<3

Passo 1

O enunciado define a função por partes
g(x)= A^2x - A, & x >= 3, 4, & x < 3
e pede para que g seja contínua em todo x. Como a única “quebra” de definição ocorre em x=3, basta garantir continuidade em x=3, isto é,
limxto3^-g(x)=limxto3^+g(x)=g(3)

Passo 2

Calculemos os limites lateral e igualemos:
limxto3^-g(x)=4, limxto3^+g(x)=A^2cdot3 - A =3A^2-A,
e g(3) pode ser tomado pela regra de x>=3, ou seja g(3)=3A^2-A. Logo a condição de continuidade em x=3 é
3A^2-A = 4
Essa é uma equação quadrática em A. Reescrevendo:
3A^2 - A - 4 = 0
O discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot3cdot(-4)=1+48=49,
logo
A = 1 pm raiz492cdot3 = 1pm76 ;Longrightarrow; A = 86=43 ou A = -66=-1

Resposta

A = -1 ou A = 43
(Não há outra constante B além do valor fixo 4 na definição de g.)

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