Analise a continuidade das funções abaixo nos seus respectivos domínios.
f(x)=x-|x|2 x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade de
f(x) = x - lvert xrvert2,x
no seu domínio. O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes (devido ao valor absoluto), e vamos precisar:
– determinar o domínio de f,
– separar em casos x>0 e x<0,
– verificar se em cada intervalo a função é contínua.

Passo 2

Primeiro, o domínio de é dado por valores de que não anulem o denominador. Como o denominador é , devemos ter . Logo

Passo 3

Para x>0, temos lvert xrvert = x. Então
x - lvert xrvert = x - x = 0,
e
f(x) = 02x = 0
Logo em (0,infty) a função vale f(x)=0, que é uma função constante.

Passo 4

Para x<0, temos lvert xrvert = -x. Então
x - lvert xrvert = x - (-x) = 2x,
e
f(x) = 2x2x = 1
Logo em (-infty,0) a função vale f(x)=1, também constante.

Passo 5

Funções constantes são contínuas em qualquer intervalo. Assim f(x)=1 é contínua em (-infty,0) e f(x)=0 é contínua em (0,infty). Como não há outros pontos no domínio além desses, concluímos que f é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função f é contínua em Rsetminus0.

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