Sejam
funções definidas em um intervalo aberto
e
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
( ) Se existirem os limites
então existirá o limite
.
( ) Pode existir o limite
sem que existam os limites
.
( ) Se existir o limite
e não existir o limite
então não existe o limite
.
( ) Se existirem os limites
então existirá o limite
.
( ) Se existir o limite
e não existir o limite
então não existirá o limite
.
( ) Se existirem os limites
e
então existirá o limite
.
( ) Se existirem os limites
( ) Pode existir o limite
( ) Se existir o limite
( ) Se existirem os limites
( ) Se existir o limite
( ) Se existirem os limites
Passo 1
O enunciado trata de existência de limites de funções em um ponto e de operações com limites (soma, quociente e limites laterais). Vamos usar as propriedades básicas de limites: soma, diferença e quociente, e construir contra-exemplos quando necessário.
Passo 2
( ) Se existirem
e
, então existe
.
Justificação: Suponha e
. Pela propriedade da diferença de limites,
Justificação: Suponha
logo o limite de
existe. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
( ) Pode existir
Então não têm limite em
(os valores oscilam entre 0 e 1), mas
logo
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
( ) Se existir
e não existir
, então não existe
.
Justificação: Se existisse mas
existisse, pela diferença de limites teríamos
Justificação: Se
existente, contradizendo a hipótese. Logo, o limite da soma não pode existir. Assim, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
( ) Se existirem
e
, então existirá
.
Contra-exemplo: Tome ,
Contra-exemplo: Tome
Então
e
, mas
não tem limite em 0. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 6
( ) Se existir
e não existir
, então não existirá
.
Contra-exemplo: Seja e defina
Contra-exemplo: Seja
Então
e
não existe, mas
e logo
. A afirmação é falsa.
Passo 7
( ) Se existirem
Então , mas
não existe pois as duas laterais são diferentes. Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa
- Falsa