Sejam f, g: I R funções definidas em um intervalo aberto I e a in I. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas (isto é, exibindo uma demonstração nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo nos casos falsos).
( ) Se existirem os limites lim x a f(x) e lim x a[f(x)+g(x)] então existirá o limite lim x a g(x).
( ) Pode existir o limite lim x a[f(x)+g(x)] sem que existam os limites lim x a f(x) e lim x a g(x).
( ) Se existir o limite lim x a f(x) e não existir o limite lim x a g(x) então não existe o limite lim x a[f(x)+g(x)].
( ) Se existirem os limites lim x a f(x) e lim x a g(x) então existirá o limite lim x a f(x)g(x).
( ) Se existir o limite lim x a f(x) e não existir o limite lim x a g(x) então não existirá o limite lim x a f(x)g(x).
( ) Se existirem os limites lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x) então existirá o limite lim x a f(x).

Passo 1

O enunciado trata de existência de limites de funções em um ponto e de operações com limites (soma, quociente e limites laterais). Vamos usar as propriedades básicas de limites: soma, diferença e quociente, e construir contra-exemplos quando necessário.

Passo 2

( ) Se existirem limxto af(x) e limxto a[f(x)+g(x)], então existe limxto ag(x).
Justificação: Suponha limxto af(x)=L e limxto a[f(x)+g(x)]=M. Pela propriedade da diferença de limites,
limxto ag(x) =limxto al[(f(x)+g(x))-f(x)r] =limxto a[f(x)+g(x)]-limxto af(x) =M-L,
logo o limite de g existe. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

( ) Pode existir
Então não têm limite em (os valores oscilam entre 0 e 1), mas
logo . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

( ) Se existir limxto af(x) e não existir limxto ag(x), então não existe limxto a[f(x)+g(x)].
Justificação: Se limxto af(x)=L existisse mas limxto a[f(x)+g(x)] existisse, pela diferença de limites teríamos
limxto ag(x) =limxto al[(f(x)+g(x))-f(x)r]
existente, contradizendo a hipótese. Logo, o limite da soma não pode existir. Assim, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

( ) Se existirem limxto af(x) e limxto ag(x), então existirá limxto af(x)g(x).
Contra-exemplo: Tome a=0,
f(x)=1forall x, g(x)=x
Então limxto0f(x)=1 e limxto0g(x)=0, mas f(x)g(x)=1x não tem limite em 0. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 6

( ) Se existir limxto af(x) e não existir limxto ag(x), então não existirá limxto af(x)g(x).
Contra-exemplo: Seja ain I e defina
f(x)=0forall x, g(x) qualquer que não tenha limite em a ã
Então limxto af(x)=0 e limxto ag(x) não existe, mas
f(x)g(x)=0forall xneq a,
e logo limxto af(x)g(x)=0. A afirmação é falsa.

Passo 7

( ) Se existirem
Então , mas não existe pois as duas laterais são diferentes. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Verdadeira
  4. Falsa
  5. Falsa
  6. Falsa

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