Analise a continuidade das funções abaixo nos seus respectivos domínios:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você mandou:
Enunciado: Analise a continuidade das funções abaixo nos seus respectivos domínios:
.
Conteúdo da Matéria: Continuidades de funções, domínio de uma função, valor absoluto.
O que vamos precisar para resolver: Entender o que é continuidade, saber determinar o domínio de uma função, trabalhar com valor absoluto e simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
.
Domínio da Função: O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos uma fração, e o denominador não pode ser zero. Então, precisamos que
.
Resolvendo:
Então, o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
em duas partes, considerando o módulo
. Lembrando que o valor absoluto de
,
, depende do sinal de
:
- Para
: - Para
:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1:
Substituindo
por
:
Então, para
,
.
Passo 5
Caso 2:
Substituindo
por
:
Então, para
,
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade da função em cada intervalo do domínio.
Definição de Continuidade: Uma função é contínua em um ponto se:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando
se aproxima desse ponto existe. - O limite da função é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos aplicar isso:
- Para
: A função é constante ( ), então é contínua nesse intervalo. - Para
: A função também é constante ( ), então é contínua nesse intervalo.
Passo 7
Porém, precisamos verificar o ponto onde a definição da função muda, que é
. Mas, lembrando que
não está no domínio da função, pois o denominador seria zero.
Logo, a função não é contínua em
, já que não está definida nesse ponto.
Passo 8
Resumo da Continuidade:
- A função é contínua para todo
no domínio, ou seja, para e . - A função não é contínua em
, pois não está definida nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua para todo
real exceto em
.