Analise a continuidade das funções abaixo nos seus respectivos domínios: f(x)=(x-|x|)/(2 x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você mandou:
Enunciado: Analise a continuidade das funções abaixo nos seus respectivos domínios: .
Conteúdo da Matéria: Continuidades de funções, domínio de uma função, valor absoluto.
O que vamos precisar para resolver: Entender o que é continuidade, saber determinar o domínio de uma função, trabalhar com valor absoluto e simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função .
Domínio da Função: O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos uma fração, e o denominador não pode ser zero. Então, precisamos que .
Resolvendo:
Então, o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função em duas partes, considerando o módulo . Lembrando que o valor absoluto de , , depende do sinal de :
  • Para :
  • Para :
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1:
Substituindo por :
Então, para , .

Passo 5

Caso 2:
Substituindo por :
Então, para , .

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade da função em cada intervalo do domínio.
Definição de Continuidade: Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima desse ponto existe.
  3. O limite da função é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos aplicar isso:
  • Para : A função é constante ( ), então é contínua nesse intervalo.
  • Para : A função também é constante ( ), então é contínua nesse intervalo.

Passo 7

Porém, precisamos verificar o ponto onde a definição da função muda, que é . Mas, lembrando que não está no domínio da função, pois o denominador seria zero.
Logo, a função não é contínua em , já que não está definida nesse ponto.

Passo 8

Resumo da Continuidade:
  • A função é contínua para todo no domínio, ou seja, para e .
  • A função não é contínua em , pois não está definida nesse ponto.

Resposta

A função é contínua para todo real exceto em .

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