Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
sumn=1^infty 4^n+27^n-1
Dica: Ajuste os expoentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita: sumn=1^infty 4^n+27^n-1. O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge e, se convergir, encontrar a soma dela. Para isso, vamos ver se conseguimos transformar essa série em uma série geométrica, que é mais fácil de analisar. Precisaremos ajustar os expoentes para identificar a razão comum da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos:
4^n+27^n-1 = 4^n cdot 4^27^n cdot 7^-1 = 4^n cdot 167^n cdot 17 = 16 cdot 7 cdot (47)^n = 112 cdot (47)^n
Então, a série fica:
sumn=1^infty 112 cdot (47)^n

Passo 3

Agora, perceba que essa é uma série geométrica com o primeiro termo a = 112 cdot (47)^1 = 112 cdot 47 = 64 e razão comum r = 47.

Passo 4

Para uma série geométrica sumn=1^infty a cdot r^n-1, ela converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. Se |r| >= 1, a série diverge.
No nosso caso, r = 47 e |47| = 47 < 1, então a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos encontrar a soma dela usando a fórmula da série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 641 - 47 = 6437 = 64 cdot 73 = 4483 approx 149,33

Resposta

A série converge e a soma dela é 4483.

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