Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
Dica: Ajuste os expoentes.
Dica: Ajuste os expoentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série infinita:
. O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge e, se convergir, encontrar a soma dela. Para isso, vamos ver se conseguimos transformar essa série em uma série geométrica, que é mais fácil de analisar. Precisaremos ajustar os expoentes para identificar a razão comum da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, perceba que essa é uma série geométrica com o primeiro termo
e razão comum
.
Passo 4
Para uma série geométrica
, ela converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1. Se
, a série diverge.
No nosso caso,
e
, então a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos encontrar a soma dela usando a fórmula da série geométrica:
Substituindo os valores:
Resposta
A série converge e a soma dela é
.