Dadas as seguintes equações diferenciais
(1-x) y'' + y = 0
determine o que se pede em cada item:
Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema é resolver a equação e encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções diferentes, e . Para isso, vamos usar a técnica de séries de potências, que é uma forma de expressar as soluções como somas infinitas de termos envolvendo potências de x. Vamos precisar saber como expandir funções em séries e trabalhar com derivadas termo a termo.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y pode ser escrita como uma série de potências:

Passo 3

Calculamos as derivadas de y:

Passo 4

Substituímos y e na equação original:
Substituindo as séries:

Passo 5

Distribuímos :

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 7

Para a igualdade ser válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero:

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações para os coeficientes:
  1. De , temos
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na terceira equação:
  4. Da quarta equação:

Passo 9

Escolhemos valores para os coeficientes livres para encontrar duas soluções distintas:
  • Para : Vamos definir e
    1. Da equação
    Então, os primeiros termos de são:
  • Para : Vamos definir e
    1. De , temos
    2. Da equação
    Então, os primeiros termos de são:

Resposta

As quatro primeiras termos das soluções são:

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