Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
.
determine o que se pede em cada item:
Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema é resolver a equação
e encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções diferentes,
e
. Para isso, vamos usar a técnica de séries de potências, que é uma forma de expressar as soluções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Vamos precisar saber como expandir funções em séries e trabalhar com derivadas termo a termo.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Substituindo as séries:
Passo 5
Distribuímos
:
Passo 6
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Para a igualdade ser válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações para os coeficientes:
- De
, temos - Substituindo
na segunda equação: - Substituindo
na terceira equação: - Da quarta equação:
Passo 9
Escolhemos valores para os coeficientes livres para encontrar duas soluções distintas:
-
Para
: Vamos definir e -
- Da equação
-
Então, os primeiros termos desão: -
-
Para
: Vamos definir e - De
, temos - Da equação
-
Então, os primeiros termos desão: - De
Resposta
As quatro primeiras termos das soluções são: