Dadas as seguintes equações diferenciais
2xy'' + y' + xy = 0
determine o que se pede em cada item:
Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular em x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo aqui é mostrar que essa equação tem um ponto singular em . Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares em equações diferenciais e como identificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto singular em uma equação diferencial. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem, temos a forma geral:
Um ponto é chamado de ponto ordinário se as funções e são analíticas (ou seja, deriváveis) nesse ponto. Se alguma dessas funções não for analítica em , então é um ponto singular.

Passo 3

Agora, vamos identificar , e na nossa equação:
Aqui, temos:

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Agora, avaliamos a analiticidade dessas funções em :
  • não é definida em porque resulta em uma divisão por zero.
  • é claramente analítica em .

Passo 6

Como não é analítica em , concluímos que é um ponto singular da equação diferencial dada.

Resposta

A equação diferencial possui um ponto singular em .

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