Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular em
.
determine o que se pede em cada item:
Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo aqui é mostrar que essa equação tem um ponto singular em
. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares em equações diferenciais e como identificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto singular em uma equação diferencial. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem, temos a forma geral:
Um ponto
é chamado de ponto ordinário se as funções
e
são analíticas (ou seja, deriváveis) nesse ponto. Se alguma dessas funções não for analítica em
, então
é um ponto singular.
Passo 3
Agora, vamos identificar
,
e
na nossa equação:
Aqui, temos:
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, avaliamos a analiticidade dessas funções em
:
-
não é definida em porque resulta em uma divisão por zero. -
é claramente analítica em .
Passo 6
Como
não é analítica em
, concluímos que
é um ponto singular da equação diferencial dada.
Resposta
A equação diferencial
possui um ponto singular em
.