Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
sumn=3^infty 1n-2

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita escrita da seguinte forma:
sumn=3^infty 1n-2
O conteúdo envolvido aqui é o estudo da convergência ou divergência de séries numéricas, especificamente séries similares à série harmônica. Para resolver isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que:
1n-2
Podemos fazer uma mudança de índice para reescrever a série de forma mais clara. Vamos definir sumk=1^infty 1k . Quando , então . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a série:
sumk=1^infty 1k
é conhecida como série harmônica. A série harmônica é um caso especial de uma série sumk=1^infty 1k^p , onde:
No caso da série harmônica, .

Passo 4

Para determinar a convergência de uma série , utilizamos o teste da série , que diz:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Como na nossa série , de acordo com o teste, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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