Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita escrita da seguinte forma:
O conteúdo envolvido aqui é o estudo da convergência ou divergência de séries numéricas, especificamente séries similares à série harmônica. Para resolver isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que:
Podemos fazer uma mudança de índice para reescrever a série de forma mais clara. Vamos definir
. Quando
, então
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a série:
é conhecida como série harmônica. A série harmônica é um caso especial de uma série
, onde:
No caso da série harmônica,
.
Passo 4
Para determinar a convergência de uma série
, utilizamos o teste da série
, que diz:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Como na nossa série
, de acordo com o teste, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.