Analise a continuidade das funções nos intervalos dados:
em
Passo 1
O enunciado pede para analisar a continuidade da função
no intervalo
. As informações dadas são:
- A função é
. - O intervalo de interesse é
.
As perguntas implícitas são:
- A função é contínua em todo ponto interno do intervalo
? - A função é contínua nos pontos extremos
e (em sentido apropriado)? - Concluir se
é contínua em como um todo.
Passo 2
Definição de continuidade (a ferramenta principal que vamos usar): uma função
é contínua em um ponto
se
Aqui:
-
significa o valor que se aproxima quando se aproxima de tanto pela direita quanto pela esquerda. -
é o valor efetivo da função no ponto .
Para pontos extremos de um intervalo fechado
:
- Ser contínua em
significa que o limite pela direita existe e é igual a : . - Ser contínua em
significa que o limite pela esquerda existe e é igual a : .
Vou usar também fatos padrão sobre classes de funções (vamos explicá-los a seguir): funções polinomiais são construídas por operações de soma e produto de funções elementares que são contínuas; portanto polinômios são contínuos onde estiverem definidos.
Passo 3
Propriedades básicas de continuidade (mini-aula):
- A função constante
(onde é um número fixo) é contínua em todo ponto porque . - A função identidade
é contínua em todo ponto porque . - A função potência
(com inteiro não negativo) é contínua em todo ponto. Isso decorre de aplicar repetidamente a continuidade da identidade e a operação de multiplicação. - Se
e são contínuas em um ponto , então , e, quando , são contínuas em . Ou seja, soma, produto e quociente (quando definido) preservam continuidade.
Explicando em palavras simples: seja qual for o ponto
, se você consegue aproximar
por
e
por
quando
se aproxima de
, então as combinações algebricas dessas aproximações também se aproximam das combinações dos valores em
.
Passo 4
Aplicando as propriedades ao polinômio
: observe que
é soma de três termos:
-
(uma potência de , contínua em todo ); -
(produto da constante pela identidade , contínuo); -
(constante, contínua).
Pelo item anterior, soma de funções contínuas é contínua. Logo
é contínua em todo ponto de
. Formalmente:
Passo 5
Conseqüência para o intervalo pedido: se
é contínua em todo
, então em particular é contínua em todos os pontos do intervalo
. Isso inclui:
- Continuidade em cada ponto interno
com (limite bilateral existe e igual a ). - Continuidade no extremo esquerdo
(limite pela direita igual a ), porque polinômio é contínuo em . - Continuidade no extremo direito
(limite pela esquerda igual a ), porque polinômio é contínuo em .
Posso mostrar um exemplo concreto para fixar a ideia: verificar rapidamente em
. Temos
logo
é contínua em
. Esse tipo de substituição direta funciona para qualquer
porque polinômios admitem a propriedade de limite por substituição:
.
Passo 6
Comentário prático (para a prova): quando a função for polinomial, a resposta é automática: todo polinômio é contínuo em
, então em qualquer intervalo fechado a função será contínua. Na hora da prova, escreva a justificativa curta: "polinômios são contínuos em
porque são somas de potências de
e constantes, todas contínuas; portanto
é contínua em
". Se o examinador pedir justificativa mais rigorosa, explanação das propriedades de soma/produto/limite por substituição é suficiente.
Resposta
A função
é contínua em
.