Analise a continuidade das funções nos intervalos dados:
f(x)=x^{3}-2 x+1 em [-2,3]

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função f no intervalo [-2,3]. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=x^{3}-2x+1.
  • O intervalo de interesse é [-2,3].
As perguntas implícitas são:
  • A função é contínua em todo ponto interno do intervalo [-2,3]?
  • A função é contínua nos pontos extremos x=-2 e x=3 (em sentido apropriado)?
  • Concluir se f é contínua em [-2,3] como um todo.

Passo 2

Definição de continuidade (a ferramenta principal que vamos usar): uma função g é contínua em um ponto a se
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Aqui:
  • \lim_{x\to a} g(x) significa o valor que g(x) se aproxima quando x se aproxima de a tanto pela direita quanto pela esquerda.
  • g(a) é o valor efetivo da função no ponto a.
Para pontos extremos de um intervalo fechado [u,v]:
  • Ser contínua em u significa que o limite pela direita existe e é igual a g(u): \lim_{x\to u^+} g(x)=g(u).
  • Ser contínua em v significa que o limite pela esquerda existe e é igual a g(v): \lim_{x\to v^-} g(x)=g(v).
Vou usar também fatos padrão sobre classes de funções (vamos explicá-los a seguir): funções polinomiais são construídas por operações de soma e produto de funções elementares que são contínuas; portanto polinômios são contínuos onde estiverem definidos.

Passo 3

Propriedades básicas de continuidade (mini-aula):
  • A função constante x\mapsto c (onde c é um número fixo) é contínua em todo ponto porque \lim_{x\to a} c = c.
  • A função identidade x\mapsto x é contínua em todo ponto porque \lim_{x\to a} x = a.
  • A função potência x\mapsto x^{n} (com n inteiro não negativo) é contínua em todo ponto. Isso decorre de aplicar repetidamente a continuidade da identidade e a operação de multiplicação.
  • Se g e h são contínuas em um ponto a, então g+h, g\cdot h e, quando h(a)\neq0, g/h são contínuas em a. Ou seja, soma, produto e quociente (quando definido) preservam continuidade.
Explicando em palavras simples: seja qual for o ponto a, se você consegue aproximar g(x) por g(a) e h(x) por h(a) quando x se aproxima de a, então as combinações algebricas dessas aproximações também se aproximam das combinações dos valores em a.

Passo 4

Aplicando as propriedades ao polinômio f: observe que
f(x)=x^{3}-2x+1
é soma de três termos:
  • x^{3} (uma potência de x, contínua em todo \mathbb{R});
  • -2x (produto da constante -2 pela identidade x, contínuo);
  • 1 (constante, contínua).
Pelo item anterior, soma de funções contínuas é contínua. Logo f é contínua em todo ponto de \mathbb{R}. Formalmente:
\text{Como }x\mapsto x^{3},\\ x\mapsto -2x\\ \text{e}\\ x\mapsto 1\\ \text{são contínuas em todo }\mathbb{R},\\ \text{então }f\\ \text{é contínua em todo }\mathbb{R}.ãíãéí

Passo 5

Conseqüência para o intervalo pedido: se f é contínua em todo \mathbb{R}, então em particular é contínua em todos os pontos do intervalo [-2,3]. Isso inclui:
  • Continuidade em cada ponto interno a com -2<a<3 (limite bilateral existe e igual a f(a)).
  • Continuidade no extremo esquerdo -2 (limite pela direita igual a f(-2)), porque polinômio é contínuo em -2.
  • Continuidade no extremo direito 3 (limite pela esquerda igual a f(3)), porque polinômio é contínuo em 3.
Posso mostrar um exemplo concreto para fixar a ideia: verificar rapidamente em a=0. Temos
\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} (x^{3}-2x+1)=0^{3}-2\cdot 0+1=1=f(0),
logo f é contínua em 0. Esse tipo de substituição direta funciona para qualquer a porque polinômios admitem a propriedade de limite por substituição: \lim_{x\to a} \text{polinômio}(x)=\text{polinômio}(a)ôô.

Passo 6

Comentário prático (para a prova): quando a função for polinomial, a resposta é automática: todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}, então em qualquer intervalo fechado a função será contínua. Na hora da prova, escreva a justificativa curta: "polinômios são contínuos em \mathbb{R} porque são somas de potências de x e constantes, todas contínuas; portanto f é contínua em [-2,3]". Se o examinador pedir justificativa mais rigorosa, explanação das propriedades de soma/produto/limite por substituição é suficiente.

Resposta

A função f(x)=x^{3}-2x+1 é contínua em [-2,3].

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