Analise a continuidade das funções nos intervalos dados:
em
Passo 1
O enunciado pede: analisar a continuidade da função
no intervalo
. As informações dadas são:
- A função é
. - O intervalo onde devemos analisar é
.
O que exatamente precisamos decidir: para cada
em
determinar se
é contínua em
ou não, e, quando houver descontinuidade, identificar que tipo de descontinuidade ocorre.
Passo 2
Recordando o que significa ser contínuo em um ponto (explicação passo a passo, sem jargões).
- Seja um ponto
. Dizemos que uma função é contínua em se, e somente se, três coisas acontecerem: -
está definido (ou seja, pertence ao domínio da função). - O limite
existe (é finito). - O valor do limite coincide com o valor da função:
.
-
Se qualquer uma dessas três condições falhar, a função é descontínua em
.
Passo 3
Propriedade útil (ferramenta prática que você pode usar na prova): polinômios são contínuos em todo lugar e, mais geralmente, quocientes de funções contínuas são contínuos em pontos onde o denominador não é zero. Ou seja, se
e
são contínuas em
e
, então
é contínua em
.
Aplicando essa regra a
:
- A função
é contínua em todo ponto real (é um polinômio de grau 1). - Então
será contínua em qualquer ponto tal que , isto é, para . - Em termos de limite, para
vale e como está definido, as três condições de continuidade são satisfeitas. Logo, todo ponto com é ponto de continuidade.
Passo 4
Agora tratar do ponto
, que merece atenção porque é onde o denominador
se anula.
- Primeiro observação direta:
não está definido. Assim a condição (1) da definição de continuidade falha já de cara: não há definido, então a função não pode ser contínua em . - Mas para classificar o tipo de descontinuidade é útil olhar os limites laterais.
Vamos calcular os limites laterais em
.
-
Para
(aproximação pela esquerda), escreva com pequeno. Então À medida que, . Portanto Intuição simples: parae próximo de o denominador é um número negativo muito pequeno, então a fração fica um número negativo de grande módulo. -
Para
(aproximação pela direita), escreva com pequeno. Então e quandotemos . Assim Intuição: parae próximo de o denominador é um número positivo muito pequeno, então a fração fica um número positivo de grande módulo.
Como as duas limitações laterais divergem para sinais opostos e não são números finitos iguais, o limite
não existe (nem como número finito). Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo infinita (vertical asymptote/polo simples): a função “explode” para
de um lado e para
do outro.
Passo 5
Resumo do raciocínio útil para a prova:
- Para qualquer
com : a função é uma razão de funções contínuas com denominador não nulo, logo e é contínua em . - Em
: não está definida e as limites laterais são e , logo há descontinuidade e esta é do tipo infinita (assíntota vertical).
Mantenha essa estratégia na prova: verifique domínio, localize pontos onde o denominador zera, teste limites laterais nesses pontos e use a propriedade de continuidade de polinômios/razões quando o denominador não se anula.