Analise a continuidade das funções nos intervalos dados:
g(x)=\frac{1}{x-1} em (0,2)

Passo 1

O enunciado pede: analisar a continuidade da função g no intervalo (0,2). As informações dadas são:
  • A função é g(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  • O intervalo onde devemos analisar é (0,2).
O que exatamente precisamos decidir: para cada x em (0,2) determinar se g é contínua em x ou não, e, quando houver descontinuidade, identificar que tipo de descontinuidade ocorre.

Passo 2

Recordando o que significa ser contínuo em um ponto (explicação passo a passo, sem jargões).
  • Seja um ponto a. Dizemos que uma função f é contínua em a se, e somente se, três coisas acontecerem:
    1. f(a) está definido (ou seja, a pertence ao domínio da função).
    2. O limite \lim_{x\to a} f(x) existe (é finito).
    3. O valor do limite coincide com o valor da função: \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Se qualquer uma dessas três condições falhar, a função é descontínua em a.

Passo 3

Propriedade útil (ferramenta prática que você pode usar na prova): polinômios são contínuos em todo lugar e, mais geralmente, quocientes de funções contínuas são contínuos em pontos onde o denominador não é zero. Ou seja, se h(x) e k(x) são contínuas em a e k(a)\neq0, então \dfrac{h(x)}{k(x)} é contínua em a.
Aplicando essa regra a g(x)=\dfrac{1}{x-1}:
  • A função x\mapsto x-1 é contínua em todo ponto real (é um polinômio de grau 1).
  • Então \dfrac{1}{x-1} será contínua em qualquer ponto a tal que a-1\neq0, isto é, para a\neq1.
  • Em termos de limite, para a\neq1 vale \lim_{x\to a}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{a-1},e como g(a)=\dfrac{1}{a-1} está definido, as três condições de continuidade são satisfeitas. Logo, todo ponto a\in(0,2) com a\neq1 é ponto de continuidade.

Passo 4

Agora tratar do ponto x=1, que merece atenção porque é onde o denominador x-1 se anula.
  • Primeiro observação direta: g(1)=\dfrac{1}{1-1}=\dfrac{1}{0} não está definido. Assim a condição (1) da definição de continuidade falha já de cara: não há g(1) definido, então a função não pode ser contínua em x=1.
  • Mas para classificar o tipo de descontinuidade é útil olhar os limites laterais.
Vamos calcular os limites laterais em 1.
  • Para x\to1^- (aproximação pela esquerda), escreva x=1-h com h>0 pequeno. Então
    \frac{1}{x-1}=\frac{1}{(1-h)-1}=\frac{1}{-h}=-\frac{1}{h}.
    À medida que h\to0^+, -\dfrac{1}{h}\to -\infty. Portanto
    \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty.
    Intuição simples: para x<1 e próximo de 1 o denominador é um número negativo muito pequeno, então a fração fica um número negativo de grande módulo.
  • Para x\to1^+ (aproximação pela direita), escreva x=1+h com h>0 pequeno. Então
    \frac{1}{x-1}=\frac{1}{h},
    e quando h\to0^+ temos \dfrac{1}{h}\to+\infty. Assim
    \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty.
    Intuição: para x>1 e próximo de 1 o denominador é um número positivo muito pequeno, então a fração fica um número positivo de grande módulo.
Como as duas limitações laterais divergem para sinais opostos e não são números finitos iguais, o limite \lim_{x\to1}\dfrac{1}{x-1} não existe (nem como número finito). Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo infinita (vertical asymptote/polo simples): a função “explode” para +\infty de um lado e para -\infty do outro.

Passo 5

Resumo do raciocínio útil para a prova:
  • Para qualquer a\in(0,2) com a\neq1: a função é uma razão de funções contínuas com denominador não nulo, logo \lim_{x\to a}g(x)=g(a) e g é contínua em a.
  • Em x=1: g(1) não está definida e as limites laterais são -\infty e +\infty, logo há descontinuidade e esta é do tipo infinita (assíntota vertical).
Mantenha essa estratégia na prova: verifique domínio, localize pontos onde o denominador zera, teste limites laterais nesses pontos e use a propriedade de continuidade de polinômios/razões quando o denominador não se anula.

Resposta

g é contínua em (0,1)\cup(1,2).
g é descontínua em x=1; a descontinuidade em x=1 é do tipo infinita (assíntota vertical).

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