O objetivo é mostrar que, para todo a pertencente a esse domínio, vale \lim_{x\to a}\tan x=\tan a.
Passo 2
Definição (lembrando com calma): dizer que uma função f é contínua em um ponto a significa exatamente que
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isso quer dizer que quando x se aproxima de a, os valores f(x) se aproximam do valor f(a). Para provar continuidade de \tan em um ponto a do domínio basta mostrar que o limite da fração \dfrac{\sin x}{\cos x} quando x\to a existe e é igual a \dfrac{\sin a}{\cos a}.
Passo 3
Fato fundamental que vamos usar: as funções \sin x e \cos x são contínuas em todo \mathbb{R}. Vou demonstrar isso de forma simples e direta (é um argumento padrão, não precisa decorar, só entender a ideia).
Prova da continuidade de \sin x em um ponto a:
use a identidade de soma/diferença
Logo \big|\cos x-\cos a\big|\to 0 quando x\to a, ou seja,
\lim_{x\to a}\cos x=\cos a,
e \cos também é contínua em todo \mathbb{R}.
Comentário rápido sobre a desigualdade \big|\sin t\big|\le|t|: é uma desigualdade padrão que pode ser obtida por comparação geométrica no círculo unitário (ou por séries/expansão de Taylor). Aqui aceitamos esse fato conhecido; ele é usado rotineiramente para provar continuidade de seno e cosseno.
Passo 4
Propriedade de limites que vamos usar (e que vou justificar em poucas palavras): se f e g têm limite quando x\to a, digamos \lim_{x\to a}f(x)=L e \lim_{x\to a}g(x)=M, e M\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
A justificativa é direta: por regras usuais de limites, o limite da razão é a razão dos limites sempre que o denominador tende para um número não nulo. Em particular, se f e g são contínuas em a então L=f(a) e M=g(a), e obtemos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
Isso prova que a razão f/g é contínua em a, desde que g(a)\neq0.
Passo 5
Aplicando tudo ao caso \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}:
Para qualquer ponto a do domínio de \tan temos \cos a\neq0 (essa é a condição de estar no domínio).
Mostramos no Passo 3 que \sin e \cos são contínuas em a, portanto \lim_{x\to a}\sin x=\sin a e \lim_{x\to a}\cos x=\cos a.
Como \cos a\neq0, pela propriedade do Passo 4 vale
\lim_{x\to a}\tan x=\lim_{x\to a}\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tan a.
Logo \tan é contínua em a.
Como a foi um ponto arbitrário do domínio, concluímos que \tan é contínua em todo o seu domínio \{x\in\mathbb{R}\mid \cos x\neq0\}=\{x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar: escolha a=0. Temos \tan 0=0. Pelas propriedades acima,
\lim_{x\to 0}\tan x=\frac{\sin 0}{\cos 0}=0,
confirmando que \tan é contínua em 0. Mesmo raciocínio vale para qualquer a com \cos a\neq0.
Força aí — a ideia chave que precisa estar na cabeça para a prova é: seno e cosseno são contínuos em todo lugar, e razão de funções contínuas é contínua onde o denominador não zera. Aplicou-se isso diretamente a \tan=\sin/\cos.
Resposta
A função p(x)=\tan x é contínua em todo x tal que \cos x\neq0, isto é, em \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi:\\ k\in\mathbb{Z}\}.