1. Considere a função f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 x-1, & \text { se } x>1\end{cases}
Esta função é contínua em \mathbb{R} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)=\begin{cases}x^{2}, & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] 2x-1, & \text{se } x>1,\end{cases}
e pergunta: “Esta função é contínua em \mathbb{R} ?”.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é definida por duas expressões diferentes dependendo de x.
  • O ponto onde a definição muda é x=1.
  • A pergunta pede uma justificativa (ou seja, verificar continuidade em todos os x\in\mathbb{R}).]

Passo 2

Lembrando a definição de continuidade (explicação didática):
Uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para funções definidas por partes é comum usar a ideia de limites laterais: é preciso que
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Estratégia prática (sem jargões): verificar continuidade ponto a ponto. Porém, quando uma peça é um polinômio ou uma função linear sabemos que essas funções são contínuas em todo ponto do domínio onde estão definidas. Então:
  • Se x<1, f(x)=x^{2} — polinômio, contínuo aí.
  • Se x>1, f(x)=2x-1 — função linear, contínua aí.
    Logo só resta checar o ponto de “troca de regra”: x=1.

Passo 3

Calcular o limite à esquerda em x=1 (explicando passo a passo):
Para x aproximando-se de 1 pela esquerda usamos a expressão x^{2}. Como polinômios são contínuos, o limite é simplesmente o valor da expressão em 1. Portanto
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} x^{2}=1^{2}=1.
Interpretação simples: se você aproxima x de 1 vindo da esquerda, x^{2} fica cada vez mais perto de 1.

Passo 4

Calcular o limite à direita em x=1:
Para x aproximando-se de 1 pela direita usamos a expressão 2x-1. Funções lineares são contínuas, então
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (2x-1)=2\cdot 1-1=1.
Ou seja, aproximando x de 1 vindo da direita, 2x-1 também tende a 1.

Passo 5

Calcular o valor da função em x=1:
Pela definição, para x\leq 1 usamos x^{2}. Então
f(1)=1^{2}=1.

Passo 6

Concluir continuidade em x=1:
Juntando os resultados:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=1,\qquad f(1)=1.
Como os limites laterais são iguais entre si e iguais ao valor da função em 1, segue que f é contínua em x=1.

Passo 7

Concluir continuidade em todo \mathbb{R}:
Já vimos que f é contínua para todo x<1 (pois aí vale x^{2}, contínuo) e para todo x>1 (pois aí vale 2x-1, contínuo). Somando isso ao fato de que f é contínua em x=1, concluímos que f é contínua para todos os x\in\mathbb{R}.
Comentário amigável: não há salto nem ponto quebrado na troca de regra — as duas peças “se encontram” direitinho em 1.

Resposta

Sim. A função é contínua em \mathbb{R}.

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