e pergunta: “Esta função é contínua em \mathbb{R} ?”.
Informações relevantes do enunciado:
A função é definida por duas expressões diferentes dependendo de x.
O ponto onde a definição muda é x=1.
A pergunta pede uma justificativa (ou seja, verificar continuidade em todos os x\in\mathbb{R}).]
Passo 2
Lembrando a definição de continuidade (explicação didática):
Uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para funções definidas por partes é comum usar a ideia de limites laterais: é preciso que
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Estratégia prática (sem jargões): verificar continuidade ponto a ponto. Porém, quando uma peça é um polinômio ou uma função linear sabemos que essas funções são contínuas em todo ponto do domínio onde estão definidas. Então:
Se x<1, f(x)=x^{2} — polinômio, contínuo aí.
Se x>1, f(x)=2x-1 — função linear, contínua aí.
Logo só resta checar o ponto de “troca de regra”: x=1.
Passo 3
Calcular o limite à esquerda em x=1 (explicando passo a passo):
Para x aproximando-se de 1 pela esquerda usamos a expressão x^{2}. Como polinômios são contínuos, o limite é simplesmente o valor da expressão em 1. Portanto
Como os limites laterais são iguais entre si e iguais ao valor da função em 1, segue que f é contínua em x=1.
Passo 7
Concluir continuidade em todo \mathbb{R}:
Já vimos que f é contínua para todo x<1 (pois aí vale x^{2}, contínuo) e para todo x>1 (pois aí vale 2x-1, contínuo). Somando isso ao fato de que f é contínua em x=1, concluímos que f é contínua para todos os x\in\mathbb{R}.
Comentário amigável: não há salto nem ponto quebrado na troca de regra — as duas peças “se encontram” direitinho em 1.