Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
f(x)=x+2x^2-x-6

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função
f(x)=x+2x^2-x-6
Isso envolve determinar o domínio de f, verificar onde ela é contínua (lembrando que funções racionais são contínuas onde o denominador não se anula) e, nos pontos de descontinuidade, classificar se são removíveis ou do tipo infinito.

Passo 2

Encontramos as raízes do denominador
x^2-x-6=0Longrightarrow(x-3)(x+2)=0
Logo as soluções são x=3 e x=-2. Portanto o domínio de f é
D=Rsetminus-2,,3
Como f é uma função racional, ela é contínua em todo ponto de D. Sobram dois pontos a examinar: x=-2 e x=3.

Passo 3

Em x=-2 temos forma indeterminada 0/0, pois o numerador também zera. De fato
f(x)=x+2(x+2)(x-3)=1x-3, xneq -2
O limite quando xto -2 existe e vale
limxto -2f(x)=1-2-3=-15
Como f(-2) não está definido mas o limite é finito, x=-2 é uma descontinuidade removível.

Passo 4

Em x=3 o numerador é 3+2=5neq0 enquanto o denominador se anula, gerando limite infinito. De um lado f(x)to+infty e do outro f(x)to-infty. Portanto x=3 é uma descontinuidade infinita (ou essencial).

Resposta

A função é contínua em Rsetminus-2,3. Há descontinuidade removível em x=-2 e descontinuidade infinita em x=3.

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