Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
Demonstre que a função y=cos x é contínua para qualquer valor do argumento x.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função y=cos x e, se houver descontinuidades, classificá-las. Vamos usar a definição de continuidade em um ponto e as propriedades de limites de funções trigonométricas para mostrar que cos x é contínua em todo xinR.

Passo 2

Lembrando a definição: uma função f é contínua em x0 se e somente se
limxto x0f(x)=f(x0)
No nosso caso, basta verificar que
limhto 0cosl(x0+hr)=cos x0

Passo 3

Usamos a fórmula de adição para o cosseno:
cosl(x0+hr) =cos x0,cos h ;-;sin x0,sin h
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limhto 0cosl(x0+hr) =limhto 0l(cos x0cos h-sin x0sin hr)

Passo 4

Como cos x0 e sin x0 são constantes quando h varia, separam-se limites:
limhto0cosl(x0+hr) =cos x0,limhto0cos h ;-;sin x0,limhto0sin h
Sabemos que
limhto0cos h=1 e limhto0sin h=0,
daí
limhto0cosl(x0+hr) =cos x0cdot1-sin x0cdot0 =cos x0

Passo 5

Como a igualdade
limxto x0cos x=cos x0
vale para todo x0inR, concluímos que y=cos x é contínua para qualquer valor de x. Não existem pontos de descontinuidade.

Resposta

A função y=cos x é contínua em todo R e não possui pontos de descontinuidade.

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