Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
f(x)=1+x^31+x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar onde a função
f(x)=1+x^31+x
é contínua e, caso haja pontos de descontinuidade, classificá-los. Para isso vamos usar conceitos de domínio de funções racionais, fatoração de polinômios, limites e tipos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro fatoramos o numerador 1+x^3. Sabemos que
1+x^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)
Logo, para todo xneq -1,
f(x) = (x+1)(x^2 - x + 1)x+1 = x^2 - x + 1

Passo 3

A função g(x)=x^2 - x + 1 é um polinômio, portanto contínua em R. Como f(x)=g(x) para xneq -1, concluímos que f é contínua em todo ponto do seu domínio, que é Rsetminus-1. O ponto x=-1 está fora do domínio porque faz o denominador 1+x ser zero.

Passo 4

Para classificar o tipo de descontinuidade em x=-1, calculamos o limite lateral:
limxto -1f(x) = limxto -1(x^2 - x + 1) = (-1)^2 -(-1) + 1 = 3
O limite existe e é finito, mas f(-1) não está definido. Portanto, em x=-1 há uma descontinuidade removível.

Resposta

f é contínua em Rsetminus-1 e apresenta uma descontinuidade removível em x=-1.

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