Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade da função
em todos os pontos de
e, quando houver descontinuidade, classificá-la. Vamos precisar de fatoração de polinômios, definição de domínio e de continuidade em pontos isolados.
Passo 2
Começamos encontrando o domínio de
. Precisamos que o denominador não seja zero:
Para resolver, fatoramos agrupando:
Logo o denominador se anula em
ou em
. Como
não tem solução real, o único ponto excluído do domínio real é
. Portanto
Passo 3
Para
, podemos simplificar a fração cancelando o fator comum
:
Como
é polinomial no numerador dividido por um polinômio que nunca se anula em
, ela é contínua para todo
. Concluímos que
é contínua em
.
Passo 4
Falta analisar o ponto
. Nele
não está definida, mas podemos verificar o limite:
O limite existe e é finito, mas
não está definido. Isso caracteriza uma descontinuidade removível em
.
Passo 5
Resumindo:
- Em todo
, a função se reduz a e, portanto, é contínua. - Em
, a função não está definida, mas o limite existe e vale , logo há descontinuidade removível.
Resposta
A função
é contínua em
e apresenta em
uma descontinuidade removível.