Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
f(x)=x^2-4x^3-2 x^2+x-2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x)=x^2-4x^3-2x^2+x-2
em todos os pontos de R e, quando houver descontinuidade, classificá-la. Vamos precisar de fatoração de polinômios, definição de domínio e de continuidade em pontos isolados.

Passo 2

Começamos encontrando o domínio de . Precisamos que o denominador não seja zero:
Para resolver, fatoramos agrupando:
Logo o denominador se anula em ou em . Como não tem solução real, o único ponto excluído do domínio real é . Portanto

Passo 3

Para xneq2, podemos simplificar a fração cancelando o fator comum (x-2):
f(x)=(x-2)(x+2)(x-2)(x^2+1) =x+2x^2+1
Como x+2x^2+1 é polinomial no numerador dividido por um polinômio que nunca se anula em R, ela é contínua para todo xneq2. Concluímos que f é contínua em Rsetminus2.

Passo 4

Falta analisar o ponto x=2. Nele f não está definida, mas podemos verificar o limite:
limxto2f(x) =limxto2x+2x^2+1 =2+22^2+1 =45
O limite existe e é finito, mas f(2) não está definido. Isso caracteriza uma descontinuidade removível em x=2.

Passo 5

Resumindo:
  • Em todo xneq2, a função se reduz a x+2x^2+1 e, portanto, é contínua.
  • Em x=2, a função não está definida, mas o limite existe e vale tfrac45, logo há descontinuidade removível.

Resposta

A função f é contínua em Rsetminus2 e apresenta em x=2 uma descontinuidade removível.

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