Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2,&se x<=0, 2x+1,&se x>0,
e pede para analisar onde f é contínua e, caso haja descontinuidade, classificá-la. Vamos usar o conceito de continuidade: f é contínua em x0 se
limxto x0f(x)=f(x0)
Passo 2
Para x<0, temos f(x)=x^2, que é polinomial e portanto contínua em todo (-infty,0). Para x>0, f(x)=2x+1 é linear, logo contínua em (0,infty). Logo sobra apenas verificar o ponto de quebra x=0.
Passo 3
Calculemos as duas bordas em 0 e o valor de f em 0:
limxto0^-f(x)=limxto0^-x^2=0,
limxto0^+f(x)=limxto0^+(2x+1)=1,
e como 0<=0 usa-se a primeira regra,
f(0)=0^2=0
Passo 4
Comparando, vemos que
limxto0^-f(x)=0=f(0), limxto0^+f(x)=1neq0
Logo o limite bilateral não existe e f falha em ser contínua em 0. Como as duas limites laterais existem e são finitos mas diferentes, trata-se de uma descontinuidade de salto (ou de primeira espécie).
Resposta
A função f é contínua em todo Rsetminus0 e apresenta em x=0 uma descontinuidade do tipo salto.