Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
f(x)=ccccos x & , & se x <= 0 sin xx & , se x>0

Passo 1

O enunciado dá a função definida por
f(x)= cos x, & x<=0, dfracsin xx, & x>0,
e pede para estudar sua continuidade em todo o domínio e classificar eventuais descontinuidades. Vamos usar a definição de continuidade em pontos isolados e nos intervalos de cada ramo.

Passo 2

Em cada ramo separado de f:
– Para x<0, f(x)=cos x é uma composição de funções contínuas (cosseno), logo contínua em todo (-infty,0).
– Para x>0, f(x)=sin x/x é quociente de funções contínuas em que o denominador não se anula, logo contínua em (0,infty).

Passo 3

Falta verificar a continuidade em x=0. Calculamos os limites laterais:
limxto0^-f(x)=limxto0^-cos x=cos0=1,
limxto0^+f(x)=limxto0^+sin xx=1
Como f(0)=cos0=1, temos
limxto0f(x)=1=f(0),
portanto f é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em todo R; não há pontos de descontinuidade.

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