Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
f(x)=e^-1x^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x) = e^-1x^2
Primeiro vamos identificar o domínio de f e depois verificar continuidade em cada ponto. O conteúdo envolvido é continuidade de funções compostas (expoencial e racional) e limites em pontos críticos.

Passo 2

Determinamos o domínio de . A expressão exige , isto é,

Passo 3

Para todo ponto aneq0, a função xmapsto -tfrac1x^2 é contínua (é quociente de polinômios) e a exponencial e^u é contínua em qualquer u. Logo a composição
f(x)=e^-1x^2
é contínua em todo xneq0.

Passo 4

Analisamos o comportamento quando xto0. Note que, para xneq0,
-1x^2to -inftyquando xto0,
então
limxto0e^-1x^2 =e^-infty=0

Passo 5

Observação sobre x=0: a função não está definida em 0, mas o limite lateral existe e vale 0. Assim, em x=0 há um ponto fora do domínio – podemos chamar de descontinuidade “removível”, já que se definíssemos
f(0)=0,
a função ficaria contínua em todo R.

Resposta

f é contínua para todo xneq0. Em x=0 há uma descontinuidade removível (o limite existe e é 0, mas f não está definida ali).

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