Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
Demonstre que a função y=x^2 é contínua para qualquer valor do argumento x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função fcolon RtoR dada por f(x)=x^2 é contínua em qualquer ponto x0. O conteúdo que vamos usar é a definição de continuidade via limite e prova varepsilon de<a.

Passo 2

Recordando a definição, f é contínua em x0 se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que
lvert x - x0rvert < de<a,
então
lvert f(x) - f(x0)rvert < varepsilon
Vamos aplicar isso a f(x)=x^2.

Passo 3

Calculemos a diferença
lvert f(x) - f(x0)rvert = lvert x^2 - x0^2rvert = lvert x - x0rvert ;lvert x + x0rvert

Passo 4

Para controlar lvert x + x0rvert, imponho inicialmente
lvert x - x0rvert < 1
Então
lvert x + x0rvert <= lvert x - x0rvert + 2lvert x0rvert < 1 + 2lvert x0rvert

Passo 5

Sob essa restrição obtemos
lvert f(x) - f(x0)rvert < (1 + 2lvert x0rvert),lvert x - x0rvert
Para garantir lvert f(x)-f(x0)rvert<varepsilon, basta escolher
de<a = minl(1,;varepsilon1 + 2lvert x0rvertr)
Assim, se lvert x-x0rvert<de<a, então automaticamente lvert x-x0rvert<1 e
lvert f(x) - f(x0)rvert < (1 + 2lvert x0rvert),de<a <= (1 + 2lvert x0rvert),varepsilon1 + 2lvert x0rvert =varepsilon

Passo 6

Concluímos que, para cada varepsilon>0, existe de<a>0 (dependendo de varepsilon e de x0) tal que lvert x-x0rvert<de<a implica lvert f(x)-f(x0)rvert<varepsilon. Logo f é contínua em x0. Como x0 era arbitrário, f(x)=x^2 é contínua para todo xinR.

Resposta

A função y=x^2 é contínua para todo xinR; não existem pontos de descontinuidade.

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