Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
Demonstre que a função
é contínua para qualquer valor do argumento
.
Demonstre que a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
dada por
é contínua em qualquer ponto
. O conteúdo que vamos usar é a definição de continuidade via limite e prova
–
.
Passo 2
Recordando a definição,
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
então
Vamos aplicar isso a
.
Passo 3
Calculemos a diferença
Passo 4
Para controlar
, imponho inicialmente
Então
Passo 5
Sob essa restrição obtemos
Para garantir
, basta escolher
Assim, se
, então automaticamente
e
Passo 6
Concluímos que, para cada
, existe
(dependendo de
e de
) tal que
implica
. Logo
é contínua em
. Como
era arbitrário,
é contínua para todo
.
Resposta
A função
é contínua para todo
; não existem pontos de descontinuidade.