Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
Demonstre que a função y=raizx é contínua quando x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função
f(x)=raizx
é contínua para todo x>=0.
O conteúdo aqui é a definição de continuidade usando o critério varepsilon- de<a: para cada ponto a no domínio, devemos mostrar que
limxto a f(x) = f(a)

Passo 2

Definição de continuidade em um ponto. A função f é contínua em a se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-a|<de<a Longrightarrow l|f(x)-f(a)r|<varepsilon

Passo 3

Caso a>0. Queremos controlar
l|raizx-raizar|
Note que, para x próximo de a (e não-negativo), vale o fatoração de diferença de quadrados:
l|raizx-raizar| =|x-a|raizx+raiza
Como raizx+raiza>=raiza, temos
l|raizx-raizar| <= |x-a|raiza
Para tornar isso menor que varepsilon, basta exigir
|x-a|raiza<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-a|<varepsilon,raiza
Logo, escolhendo
de<a = varepsilon,raiza,
garantimos l|raizx-raizar|<varepsilon. Isso prova continuidade em qualquer a>0.

Passo 4

Caso a=0. Aqui f(0)=0 e
l|raizx-raiz0r|=raizx
Para raizx<varepsilon basta ter x<varepsilon^2. Logo, tomando
de<a = varepsilon^2,
se 0<= x<de<a então l|raizx-0r|<varepsilon, provando continuidade em 0 pelo limite à direita.

Passo 5

Conclusão sobre o domínio. A função só está definida para x>=0, e mostramos que é contínua em cada ponto desse intervalo. Para x<0 ela não está definida, logo não entramos em critérios de continuidade ali.

Resposta

A função y=raizx é contínua para todo x>=0. Não há pontos de descontinuidade em seu domínio.

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