Exercício 4. (02,50 pontos ) Seja f(x)=e^2 x definida de R em R. Seja o número
I=integral0^1 f(x) d x
calcular I pela regra 1 / 3 de Simpson repetida empregando 10 subintervalos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de f(x) = e^2x de 0 a 1 usando a Regra 1/3 de Simpson com 10 subintervalos. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente de métodos numéricos para cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra 1/3 de Simpson. É um método usado para aproximar o valor de integrais definidas. Ele divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos (no nosso caso, 10) e usa uma combinação de avaliações da função para estimar a área sob a curva.

Passo 3

Vamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de De<a x. A fórmula para isso é:
De<a x = b - an
onde a = 0 , b = 1 e n = 10 . Então:
De<a x = 1 - 010 = 0,1

Passo 4

Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função f(x) . Esses pontos são chamados de xi e são calculados assim:
xi = a + i De<a x
para i = 0, 1, 2, ldots, 10 . Então, temos:
x0 = 0, x1 = 0,1, x2 = 0,2, ldots, x10 = 1

Passo 5

Vamos calcular os valores de f(xi) = e^2xi para cada xi :
f(x0) &= e^2 times 0 = e^0 = 1 f(x1) &= e^2 times 0,1 = e^0,2 approx 1,2214 f(x2) &= e^2 times 0,2 = e^0,4 approx 1,4918 f(x3) &= e^2 times 0,3 = e^0,6 approx 1,8221 f(x4) &= e^2 times 0,4 = e^0,8 approx 2,2255 f(x5) &= e^2 times 0,5 = e^1,0 approx 2,7183 f(x6) &= e^2 times 0,6 = e^1,2 approx 3,3201 f(x7) &= e^2 times 0,7 = e^1,4 approx 4,0552 f(x8) &= e^2 times 0,8 = e^1,6 approx 4,9530 f(x9) &= e^2 times 0,9 = e^1,8 approx 6,0496 f(x10) &= e^2 times 1 = e^2 approx 7,3891

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da Regra 1/3 de Simpson:
I approx De<a x3 [ f(x0) + 4 sumímpares f(xi) + 2 sumpares f(xi) + f(x10) ] í
Vamos identificar as somas:
  • Soma dos ímpares (i = 1,3,5,7,9):
f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(x7) + f(x9) = 1,2214 + 1,8221 + 2,7183 + 4,0552 + 6,0496 approx 15,8666
  • Soma dos pares (i = 2,4,6,8):
f(x2) + f(x4) + f(x6) + f(x8) = 1,4918 + 2,2255 + 3,3201 + 4,9530 approx 11,9904

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
I approx 0,13 [ 1 + 4 times 15,8666 + 2 times 11,9904 + 7,3891 ]
Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
1 + (4 times 15,8666) + (2 times 11,9904) + 7,3891 = 1 + 63,4664 + 23,9808 + 7,3891 approx 95,8363
Então:
I approx 0,13 times 95,8363 approx 0,1 times 95,83633 approx 9,583633 approx 3,1945

Resposta

A aproximação da integral I = integral0^1 e^2x dx usando a Regra 1/3 de Simpson com 10 subintervalos é aproximadamente 3,1945.

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