Calcule os seguintes limites:
\lim _{z \rightarrow 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}+i\left(y^{2}+1\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{z\to 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}+i\left(y^{2}+1\right)\right],
onde implicita e usualmente z é a variável complexa z=x+iy. As informações relevantes que temos:
  • A expressão depende de x e y: a parte real é \dfrac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y} e a parte imaginária é y^{2}+1 multiplicada por i.
  • Quando z\to 0 significa que x\to 0 e y\to 0 simultaneamente.
    A pergunta única do enunciado é: qual é o valor desse limite quando z se aproxima de 0?

Passo 2

Estratégia clara e simples (sem resolver ainda): separar a função em parte real e parte imaginária e calcular os limites de cada uma quando x\to0 e y\to0. Se as duas partes tiverem limites finitos, o limite da função complexa é a soma desses limites com a unidade imaginária correta. Ou seja, calcular separadamente
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y} \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(y^{2}+1\bigr).

Passo 3

Calcular o limite da parte real \dfrac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}.
  1. Faça a mudança de variável natural \;t=x+y. Como x\to0 e y\to0, tem-se \;t\to0.
  2. Então o limite que precisamos é
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}.
  1. Agora um pequeno lembrete teórico: a razão \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t} tem um limite bem conhecido quando t\to0. Uma forma direta de justificar é usar a regra de L’Hôpital: tanto o numerador \operatorname{sen}(t) quanto o denominador t tendem a 0 quando t\to0, e ambos são diferenciáveis perto de 0 (exceto no próprio ponto, mas isso é suficiente para aplicar L’Hôpital). Aplicando L’Hôpital:
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)}{\frac{d}{dt}t} = \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{cos}(t)}{1} = \operatorname{cos}(0)=1.
  1. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}=1.
(Comentário amigável: se preferir, também existe uma prova geométrica clássica por desigualdades ou usando série de Taylor; todas conduzem ao mesmo resultado 1.)

Passo 4

Calcular o limite da parte imaginária y^{2}+1.
  1. Sabendo que y\to0 quando z\to0, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(y^{2}+1\bigr)=0^{2}+1=1.
  1. Como essa é a parte multiplicada por i, a contribuição imaginária para o limite será i\cdot 1 = i.

Passo 5

Combinar as duas partes (real e imaginária) para obter o limite da função complexa.
Da Passo 3 a parte real tende a 1.
Da Passo 4 a parte imaginária (o coeficiente de i) tende a 1.
Portanto o limite da expressão complexa é
1 + i.

Resposta

1+i

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