Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde implicita e usualmente
é a variável complexa
. As informações relevantes que temos:
- A expressão depende de
e : a parte real é e a parte imaginária é multiplicada por . - Quando
significa que e simultaneamente.
A pergunta única do enunciado é: qual é o valor desse limite quandose aproxima de ?
Passo 2
Estratégia clara e simples (sem resolver ainda): separar a função em parte real e parte imaginária e calcular os limites de cada uma quando
e
. Se as duas partes tiverem limites finitos, o limite da função complexa é a soma desses limites com a unidade imaginária correta. Ou seja, calcular separadamente
Passo 3
Calcular o limite da parte real
.
-
Faça a mudança de variável natural
. Como e , tem-se . -
Então o limite que precisamos é
- Agora um pequeno lembrete teórico: a razão
tem um limite bem conhecido quando . Uma forma direta de justificar é usar a regra de L’Hôpital: tanto o numerador quanto o denominador tendem a quando , e ambos são diferenciáveis perto de (exceto no próprio ponto, mas isso é suficiente para aplicar L’Hôpital). Aplicando L’Hôpital:
- Portanto
(Comentário amigável: se preferir, também existe uma prova geométrica clássica por desigualdades ou usando série de Taylor; todas conduzem ao mesmo resultado
.)
Passo 4
Calcular o limite da parte imaginária
.
- Sabendo que
quando , temos
- Como essa é a parte multiplicada por
, a contribuição imaginária para o limite será .
Passo 5
Combinar as duas partes (real e imaginária) para obter o limite da função complexa.
Da Passo 3 a parte real tende a
.
Da Passo 4 a parte imaginária (o coeficiente de ) tende a
.
Da Passo 4 a parte imaginária (o coeficiente de
Portanto o limite da expressão complexa é