Verifique que as seguintes funções não possuem limite quando
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
não tem limite quando
.
Informações dadas e coisas úteis que temos à mão:
-
é um número complexo que tende a . -
denota a parte imaginária de um número complexo . -
é o módulo de e . - Precisamos mostrar que, ao aproximar
de por caminhos diferentes, os valores de não se aproximam de um mesmo número. Se existisse um limite quando , então para qualquer sequência teríamos .
Passo 2
Escrever
em coordenadas cartesianas e simplificar a expressão (isso ajuda a ver a dependência nas coordenadas):
Se com
, então
Se
A parte imaginária de
é, portanto,
O quadrado do módulo é
Substituindo na definição de
(para
, para evitar divisão por zero) obtemos
Explicando: isso é simplesmente usar a definição de multiplicação de complexos e o fato de que
. Agora temos
escrita em termos de
e
.
Passo 3
Outra forma muito clara é usar coordenadas polares: escrevemos
como
onde
e
. Então
Daí
Dividindo,
Importante: essa expressão mostra que
depende APENAS do ângulo
(a direção pela qual nos aproximamos da origem), e não depende do raio
. Ou seja, ao aproximar
mantendo a mesma direção
,
permanece constante e igual a
.
Passo 4
Usar caminhos diferentes para mostrar valores distintos quando
:
- Aproximação pela reta real positiva: escolha
(então , ). Para esses pontos
Logo, ao longo dessa sequência
.
- Aproximação pela reta
(direção ): escolha . Para esses pontos
Então ao longo dessa sequência
.
Como uma função só pode ter limite
em
se todas as sequências
fizerem
, o fato de existirem duas sequências que dão limites distintos (
e
) já basta para concluir que o limite não existe.
Comentário extra (útil para prova): usando a forma
e aproximando por retas
obtém-se
mostrando que, variando
, obtém-se qualquer valor entre
e
. Isso reforça que há muitos limites diferentes ao se aproximar pela origem por direções distintas.
Passo 5
Conclusão formal por contradição: suponha que exista
tal que
. Então para qualquer sequência
teríamos
. Mas já mostramos duas sequências com limites de
distintos (
e
), o que é uma contradição. Portanto não existe tal
.
Resposta
O limite
não existe.