Verifique que as seguintes funções não possuem limite quando Z \rightarrow 0 :
f(z)=\frac{\operatorname{Im}\left(z^{2}\right)}{|z|^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f(z)=\frac{\operatorname{Im}\left(z^{2}\right)}{|z|^{2}}
não tem limite quando z \rightarrow 0.
Informações dadas e coisas úteis que temos à mão:
  • z é um número complexo que tende a 0.
  • \operatorname{Im}(w) denota a parte imaginária de um número complexo w.
  • |z| é o módulo de z e |z|^{2}=z\overline{z}.
  • Precisamos mostrar que, ao aproximar z de 0 por caminhos diferentes, os valores de f(z) não se aproximam de um mesmo número. Se existisse um limite L quando z\to0, então para qualquer sequência z_n\to0 teríamos f(z_n)\to L.

Passo 2

Escrever z em coordenadas cartesianas e simplificar a expressão (isso ajuda a ver a dependência nas coordenadas):
Se z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
A parte imaginária de z^{2} é, portanto,
\operatorname{Im}\left(z^{2}\right)=2xy.
O quadrado do módulo é
|z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
Substituindo na definição de f (para z\neq0, para evitar divisão por zero) obtemos
f(z)=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.
Explicando: isso é simplesmente usar a definição de multiplicação de complexos e o fato de que |z|^{2}=x^{2}+y^{2}. Agora temos f escrita em termos de x e y.

Passo 3

Outra forma muito clara é usar coordenadas polares: escrevemos z como
z=r e^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta),
onde r=|z|\ge0 e \theta=\arg(z). Então
z^{2}=r^{2}e^{i2\theta}=r^{2}(\cos 2\theta + i\sin 2\theta).
Daí
\operatorname{Im}\left(z^{2}\right)=r^{2}\sin 2\theta, \qquad |z|^{2}=r^{2}.
Dividindo,
f(z)=\frac{r^{2}\sin 2\theta}{r^{2}}=\sin 2\theta \quad\text{para }z\neq0.
Importante: essa expressão mostra que f(z) depende APENAS do ângulo \theta (a direção pela qual nos aproximamos da origem), e não depende do raio r. Ou seja, ao aproximar 0 mantendo a mesma direção \theta, f(z) permanece constante e igual a \sin 2\theta.

Passo 4

Usar caminhos diferentes para mostrar valores distintos quando z\to0:
  • Aproximação pela reta real positiva: escolha z_n=\dfrac{1}{n} (então x=1/n,\\ y=0, \theta=0). Para esses pontos
f(z_n)=\sin(2\cdot 0)=0.
Logo, ao longo dessa sequência f(z_n)\to 0.
  • Aproximação pela reta y=x (direção \theta=\pi/4): escolha w_n=\dfrac{1}{n}(1+i)=\dfrac{\sqrt{2}}{n}e^{i\pi/4}. Para esses pontos
f(w_n)=\sin\bigl(2\cdot \tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Então ao longo dessa sequência f(w_n)\to 1.
Como uma função só pode ter limite L em 0 se todas as sequências z_n\to0 fizerem f(z_n)\to L, o fato de existirem duas sequências que dão limites distintos ( 0 e 1) já basta para concluir que o limite não existe.
Comentário extra (útil para prova): usando a forma f(z)=\dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}} e aproximando por retas y=kx obtém-se
f(x+ikx)=\frac{2x(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{2k}{1+k^{2}},
mostrando que, variando k, obtém-se qualquer valor entre -1 e 1. Isso reforça que há muitos limites diferentes ao se aproximar pela origem por direções distintas.

Passo 5

Conclusão formal por contradição: suponha que exista L\in\mathbb{R} tal que \lim_{z\to0}f(z)=L. Então para qualquer sequência z_n\to0 teríamos f(z_n)\to L. Mas já mostramos duas sequências com limites de f distintos ( 0 e 1), o que é uma contradição. Portanto não existe tal L.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{\operatorname{Im}(z^{2})}{|z|^{2}} não existe.

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