Analise a convergência ou divergência da série abaixo, através dos testes dados em aula.
sumn=2^infty (ln n)^pn

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergencia da série
sumn=2^infty(ln n)^pn
em função do parâmetro p. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos. Para isso, vamos usar o Teste da Integral.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=(ln x)^px,
para x>=2. Observamos que, para x suficientemente grande, ln x cresce e portanto (ln x)^p cresce (se p>0) ou decresce (se p<0), mas o fator 1/x garante que f(x) seja positiva e monotonicamente decrescente para x além de algum N. Assim podemos aplicar o Teste da Integral: a série sum an e a integral integralN^inftyf(x),dx têm o mesmo comportamento quanto à convergência.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
Fazendo a troca de variável
A integral converge se, e somente se, o expoente satisfaz
pois
e isso tende a um valor finito quando .]

Passo 4

Pelo Teste da Integral, concluímos que a série
sumn=2^infty(ln n)^pn
converge exatamente nos casos em que a integral correspondente converge, ou seja, quando p<-1. Para p>= -1 a integral (e portanto a série) diverge.

Resposta

A série converge se, e somente se, p<-1. Caso p>= -1, a série diverge.

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