Analise a convergência ou divergência da série abaixo, através dos testes dados em aula.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergencia da série
em função do parâmetro . O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos. Para isso, vamos usar o Teste da Integral.
Passo 2
Definimos a função
para . Observamos que, para suficientemente grande, cresce e portanto cresce (se ) ou decresce (se ), mas o fator garante que seja positiva e monotonicamente decrescente para além de algum . Assim podemos aplicar o Teste da Integral: a série e a integral têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a troca de variável
A integral converge se, e somente se, o expoente satisfaz
pois
e isso tende a um valor finito quando .]
Passo 4
Pelo Teste da Integral, concluímos que a série
sumn=2^infty(ln n)^pn
converge exatamente nos casos em que a integral correspondente converge, ou seja, quando p<-1. Para p>= -1 a integral (e portanto a série) diverge.
Resposta
A série converge se, e somente se, p<-1. Caso p>= -1, a série diverge.