Seja u(x, t) a solução de:
l ux x=ut t, 0<x<1, -infty<t<+infty u(0, t)=u(1, t)=0, 0 <= t u(x, 0)=sum1^infty kn sen(n pi x), 0 <= x <= 1 ut(x, 0)=0, 0 <= x <= 1
Use a identidade de Parseval para concluir que E(t) equiv pi^22 sum1^infty n^2 kn^2

Passo 1

O enunciado é o problema da corda vibrante em (0,1) com condições de Dirichlet homogêneas, deslocamento inicial
u(x,0)=sumn=1^inftyknsen(npi x),
velocidade inicial ut(x,0)=0, e a energia total
E(t)=12integral0^1l(ux(x,t)^2+ut(x,t)^2r),dx
O que vamos usar: solução em série de Fourier por separação de variáveis e a identidade de Parseval para séries de senos e cossenos.

Passo 2

Pelo método de separação de variáveis, a solução fica
u(x,t)=sumn=1^inftykncos(npi t),sen(npi x),
pois a condição ut(x,0)=0 impõe que o termo em sen(npi t) tenha coeficiente zero.

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
ux(x,t)=sumn=1^inftykncos(npi t),(npi)cos(npi x),
ut(x,t)=-sumn=1^inftyknsin(npi t),(npi)sen(npi x)

Passo 4

Agora aplicamos Parseval em cada integral. Para qualquer sequência (an),
integral0^1l(sumnansen(npi x)r)^2dx =12sumnan^2,
e similarmente para cossenos. Logo,
integral0^1ux^2,dx =sumn=1^inftyl(npi kncos(npi t)r)^2!integral0^1cos^2(npi x),dx =12sumn=1^infty(npi kncos(npi t))^2,
integral0^1ut^2,dx =sumn=1^inftyl(npi knsin(npi t)r)^2!integral0^1sen^2(npi x),dx =12sumn=1^infty(npi knsin(npi t))^2

Passo 5

Somando as duas partes na definição de E(t):
E(t) =12l[tfrac12sum(npi kncos(npi t))^2+tfrac12sum(npi knsin(npi t))^2r] =14sum(npi kn)^2l(cos^2+sin^2r) =pi^22sumn=1^infty n^2kn^2

Resposta

E(t)equiv pi^22sumn=1^inftyn^2kn^2

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