Seja
a solução de:
Use a identidade de Parseval para concluir que
E(t) equiv pi^22 sum1^infty n^2 kn^2
Passo 1
O enunciado é o problema da corda vibrante em
(0,1) com condições de Dirichlet homogêneas, deslocamento inicial
velocidade inicial
ut(x,0)=0 , e a energia total
O que vamos usar: solução em série de Fourier por separação de variáveis e a identidade de Parseval para séries de senos e cossenos.
Passo 2
Pelo método de separação de variáveis, a solução fica
pois a condição
ut(x,0)=0 impõe que o termo em
sen(npi t) tenha coeficiente zero.
Passo 3
Calculamos as derivadas necessárias:
Passo 4
Agora aplicamos Parseval em cada integral. Para qualquer sequência
(an) ,
e similarmente para cossenos. Logo,
Passo 5
Somando as duas partes na definição de
E(t) :