Considere uma barra metálica de comprimento 1 que está térmicamente isolada tanto nas laterais quanto nas extremidades. Supondo que para o material da barra,
, e, que a distribuição inicial de temperaturas na barra é dada por
, determine:
A distribuição de temperaturas na barra,
em um instante
qualquer.
A distribuição de temperaturas na barra,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a distribuição de temperaturas,
, ao longo de uma barra metálica de comprimento 1 em qualquer instante
. A barra está isolada nas laterais e nas extremidades, e a distribuição inicial de temperatura é dada por
para
. O conteúdo que vamos usar aqui é a equação do calor, que descreve como a temperatura se espalha ao longo do tempo em um material.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do calor em uma dimensão:
Aqui,
, então a equação fica:
Passo 3
Como a barra está isolada nas extremidades, isso significa que não há fluxo de calor passando pelas bordas. Em termos matemáticos, isso se traduz nas condições de contorno de Neumann:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação do calor com essas condições de contorno e com a condição inicial
. Para isso, usamos a série de Fourier, especificamente a série de cossenos, já que as condições de contorno são de Neumann.
A solução geral da equação do calor pode ser escrita como:
Passo 5
Vamos determinar os coeficientes
e
. O coeficiente
é a média da condição inicial:
Passo 6
Para os coeficientes
, usamos a fórmula da série de Fourier para condições de Neumann:
Vamos calcular essa integral:
Primeiro, fazemos integração por partes:
Avaliando de 0 a 1:
Sabemos que
e
, então:
Isso mostra que apenas os termos com
ímpar contribuem, pois para
par,
.
Passo 7
Portanto, podemos reescrever a série considerando apenas
, onde
é um número inteiro positivo:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A distribuição de temperaturas na barra para qualquer instante
é dada por: