Considere uma barra metálica de comprimento 1 que está térmicamente isolada tanto nas laterais quanto nas extremidades. Supondo que para o material da barra, alpha^2=1, e, que a distribuição inicial de temperaturas na barra é dada por u(x, 0)=x, 0<x<1, determine:
A distribuição de temperaturas na barra, u(x, t) em um instante t>0 qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a distribuição de temperaturas, u(x, t) , ao longo de uma barra metálica de comprimento 1 em qualquer instante t > 0 . A barra está isolada nas laterais e nas extremidades, e a distribuição inicial de temperatura é dada por u(x, 0) = x para 0 < x < 1 . O conteúdo que vamos usar aqui é a equação do calor, que descreve como a temperatura se espalha ao longo do tempo em um material.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do calor em uma dimensão:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, alpha^2 = 1 , então a equação fica:
partial upartial t = partial^2 upartial x^2

Passo 3

Como a barra está isolada nas extremidades, isso significa que não há fluxo de calor passando pelas bordas. Em termos matemáticos, isso se traduz nas condições de contorno de Neumann:
partial upartial x(0, t) = 0 e partial upartial x(1, t) = 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação do calor com essas condições de contorno e com a condição inicial u(x, 0) = x . Para isso, usamos a série de Fourier, especificamente a série de cossenos, já que as condições de contorno são de Neumann.
A solução geral da equação do calor pode ser escrita como:
u(x, t) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi x) e^-(npi)^2 t

Passo 5

Vamos determinar os coeficientes a0 e an . O coeficiente a0 é a média da condição inicial:
a0 = integral0^1 x , dx = 12

Passo 6

Para os coeficientes an , usamos a fórmula da série de Fourier para condições de Neumann:
an = 2 integral0^1 x cos(npi x) , dx
Vamos calcular essa integral:
Primeiro, fazemos integração por partes:
integral x cos(npi x) , dx = x sin(npi x)npi - cos(npi x)(npi)^2 + C
Avaliando de 0 a 1:
an = 2 [ 1 cdot sin(npi)npi - cos(npi)(npi)^2 - (0 - 1(npi)^2) ]
Sabemos que sin(npi) = 0 e cos(npi) = (-1)^n , então:
an = 2 [ 0 - (-1)^n(npi)^2 + 1(npi)^2 ] = 2 cdot 1 - (-1)^n(npi)^2
Isso mostra que apenas os termos com n ímpar contribuem, pois para n par, 1 - (-1)^n = 0 .

Passo 7

Portanto, podemos reescrever a série considerando apenas n = 2k - 1 , onde k é um número inteiro positivo:
u(x, t) = 12 + sumk=1^infty ( 2 cdot 2((2k-1)pi)^2 ) cos((2k-1)pi x) e^-((2k-1)pi)^2 t
Simplificando os coeficientes:
u(x, t) = 12 + 4pi^2 sumk=1^infty (-1)^k+1(2k-1)^2 cos((2k-1)pi x) e^-((2k-1)pi)^2 t

Resposta

A distribuição de temperaturas na barra para qualquer instante t > 0 é dada por:
u(x, t) = 12 + 4pi^2 sumk=1^infty (-1)^k+1(2k-1)^2 cos((2k-1)pi x) e^-((2k-1)^2 pi^2 t)

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