Um circuito RLC conectado em série com uma resistência de 16 ohms, um capacitor de 0,02 farad e uma indutância de 2 henries possui uma tensão aplicada E(t)=100 sen(2 t). Admitindo que não haja corrente inicial nem carga inicial no capacitor, determine uma expressão para a corrente que fui no circuito no instante de tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito RLC em série, que tem uma resistência de 16 ohms, um capacitor de 0,02 farad e uma indutância de 2 henries. A gente tem uma tensão aplicada que varia no tempo, dada por E(t) = 100 sin(2t) . A ideia é descobrir como a corrente i(t) varia nesse circuito quando não tem corrente inicial nem carga no capacitor. Vamos precisar usar o estudo de circuitos RLC e resolver uma equação diferencial para encontrar a expressão da corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona um circuito RLC série. A tensão total E(t) aplicada ao circuito é a soma das quedas de tensão na resistência R , na indutância L e no capacitor C . Isso dá a seguinte relação:
E(t) = VR + VL + VC
Sabemos que:
  • VR = R cdot i(t) (Lei de Ohm)
  • VL = L cdot di(t)dt (Lei de Faraday para indutância)
  • VC = 1C integral i(t) , dt (Relação do capacitor)
Então, substituindo essas expressões na equação da tensão total:
E(t) = R cdot i(t) + L cdot di(t)dt + 1C integral i(t) , dt

Passo 3

Agora, para facilitar a resolução, vamos derivar os dois lados da equação com relação ao tempo t . Isso elimina a integral e nos dá uma equação diferencial comum para circuitos RLC:
dE(t)dt = R cdot di(t)dt + L cdot d^2i(t)dt^2 + 1C i(t)
Sabemos que E(t) = 100 sin(2t) , então sua derivada é:
dE(t)dt = 200 cos(2t)
Substituindo na equação diferencial:
200 cos(2t) = R cdot di(t)dt + L cdot d^2i(t)dt^2 + 1C i(t)

Passo 4

Vamos organizar a equação diferencial com os valores dados:
200 cos(2t) = 16 cdot di(t)dt + 2 cdot d^2i(t)dt^2 + 10,02 i(t)
Simplificando 10,02 = 50 , então:
200 cos(2t) = 16 cdot di(t)dt + 2 cdot d^2i(t)dt^2 + 50 i(t)
Agora, reescrevemos a equação para uma forma padrão:
2 cdot d^2i(t)dt^2 + 16 cdot di(t)dt + 50 i(t) = 200 cos(2t)

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, vamos procurar uma solução particular da forma ip(t) = A cos(2t) + B sin(2t) , onde A e B são constantes a serem encontradas. Derivando ip(t) :
dip(t)dt = -2A sin(2t) + 2B cos(2t)
d^2ip(t)dt^2 = -4A cos(2t) - 4B sin(2t)
Substituindo ip(t) e suas derivadas na equação diferencial:
2(-4A cos(2t) - 4B sin(2t)) + 16(-2A sin(2t) + 2B cos(2t)) + 50(A cos(2t) + B sin(2t)) = 200 cos(2t)
Simplificando termos:
(-8A cos(2t) - 8B sin(2t)) + (-32A sin(2t) + 32B cos(2t)) + (50A cos(2t) + 50B sin(2t)) = 200 cos(2t)
Agrupando os termos de cos(2t) e sin(2t) :
(-8A + 32B + 50A) cos(2t) + (-8B - 32A + 50B) sin(2t) = 200 cos(2t)
Simplificando:
(42A + 32B) cos(2t) + (42B - 32A) sin(2t) = 200 cos(2t)
Para que a equação seja válida para todos os t , os coeficientes de cos(2t) e sin(2t) devem ser iguais nos dois lados da equação:
42A + 32B = 200
42B - 32A = 0
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
42B = 32A Rightarrow B = 3242 A = 1621 A
Substituindo na primeira equação:
42A + 32 ( 1621 A ) = 200
42A + 51221 A = 200
( 42 + 51221 ) A = 200
( 882 + 51221 ) A = 200
139421 A = 200 Rightarrow A = 200 cdot 211394 approx 3,016
Agora, encontramos B :
B = 1621 cdot 3,016 approx 2,295

Resposta

A corrente no circuito no instante de tempo t é dada por:
i(t) approx 3,016 cos(2t) + 2,295 sin(2t) , A

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