Um circuito RLC conectado em série com uma resistência de 16 ohms, um capacitor de 0,02 farad e uma indutância de 2 henries possui uma tensão aplicada
. Admitindo que não haja corrente inicial nem carga inicial no capacitor, determine uma expressão para a corrente que fui no circuito no instante de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito RLC em série, que tem uma resistência de 16 ohms, um capacitor de 0,02 farad e uma indutância de 2 henries. A gente tem uma tensão aplicada que varia no tempo, dada por
. A ideia é descobrir como a corrente
varia nesse circuito quando não tem corrente inicial nem carga no capacitor. Vamos precisar usar o estudo de circuitos RLC e resolver uma equação diferencial para encontrar a expressão da corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona um circuito RLC série. A tensão total
aplicada ao circuito é a soma das quedas de tensão na resistência
, na indutância
e no capacitor
. Isso dá a seguinte relação:
Sabemos que:
-
(Lei de Ohm) -
(Lei de Faraday para indutância) -
(Relação do capacitor)
Então, substituindo essas expressões na equação da tensão total:
Passo 3
Agora, para facilitar a resolução, vamos derivar os dois lados da equação com relação ao tempo
. Isso elimina a integral e nos dá uma equação diferencial comum para circuitos RLC:
Sabemos que
, então sua derivada é:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 4
Vamos organizar a equação diferencial com os valores dados:
Simplificando
, então:
Agora, reescrevemos a equação para uma forma padrão:
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos procurar uma solução particular da forma
, onde
e
são constantes a serem encontradas. Derivando
:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando termos:
Agrupando os termos de
e
:
Simplificando:
Para que a equação seja válida para todos os
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, encontramos
:
Resposta
A corrente no circuito no instante de tempo
é dada por: