Escreva
como uma série e mostre que ela converge para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever o número decimal
como uma série e mostrar que ele converge para
. Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e conceitos de limite em matemática. Para resolver, vamos precisar entender como representar números decimais repetitivos como somas infinitas e usar propriedades das séries para encontrar seu limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse número é um decimal periódico, ou seja, o 3 se repete infinitamente. Podemos escrever isso como:
Cada termo após a vírgula é um 3 multiplicado por uma potência de 10 negativa.
Passo 3
Agora, vamos expressar essa soma como uma série. Observamos que cada termo é
, onde
começa em 1 e vai para o infinito. Então, a série fica:
Passo 4
Para mostrar que essa série converge para
, vamos calcular a soma dessa série infinita. Essa é uma série geométrica, onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão fixa. No nosso caso, a razão
.
Passo 5
A fórmula para a soma
de uma série geométrica infinita com
é:
onde
é o primeiro termo da série. No nosso caso,
e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
Portanto, a série
converge para
.