Escreva 0,333 ldots como uma série e mostre que ela converge para 13.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever o número decimal 0,333ldots como uma série e mostrar que ele converge para 13. Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e conceitos de limite em matemática. Para resolver, vamos precisar entender como representar números decimais repetitivos como somas infinitas e usar propriedades das séries para encontrar seu limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 0,333ldots. Esse número é um decimal periódico, ou seja, o 3 se repete infinitamente. Podemos escrever isso como:
0,333ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ldots
Cada termo após a vírgula é um 3 multiplicado por uma potência de 10 negativa.

Passo 3

Agora, vamos expressar essa soma como uma série. Observamos que cada termo é 3 times 10^-n, onde n começa em 1 e vai para o infinito. Então, a série fica:
0,333ldots = sumn=1^infty 310^n

Passo 4

Para mostrar que essa série converge para 13, vamos calcular a soma dessa série infinita. Essa é uma série geométrica, onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão fixa. No nosso caso, a razão r = 110.

Passo 5

A fórmula para a soma S de uma série geométrica infinita com |r| < 1 é:
S = a1 - r
onde a é o primeiro termo da série. No nosso caso, a = 310 e r = 110.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
S = 3101 - 110 = 310910 = 310 times 109 = 39 = 13

Resposta

Portanto, a série 0,333ldots converge para 13.

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