Analise a convergência das integrais
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}+5}\,dx.
O conteúdo é análise de integrais impróprias, e vamos aplicar o critério de comparação em dois trechos que podem causar problemas: perto de x=0 e quando x\to+\infty.

Passo 2

Verificação em x=0:
Para x próximo de 0, o integrando
\frac{1}{x^{3}+5}
é contínuo e limitado, pois
\frac{1}{x^{3}+5}\le\frac{1}{5}.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{3}+5}\,dx
é convergente por compará-la com a constante \tfrac15.

Passo 3

Verificação em x\to+\infty:
Para x grande, x^{3}+5\sim x^{3}, então
0\le\frac{1}{x^{3}+5}\le\frac{1}{x^{3}}.
Como
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx
converge (é uma integral tipo p- com p=3>1), pelo critério de comparação a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}+5}\,dx
também converge.

Resposta

A integral
\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^{3}+5}\,dx
é convergente.

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