Calcule \int\left(\sin ^{4} x+\cos ^{5} x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(\sin^4 x + \cos^5 x\bigr)\,dx.
Vamos separar em duas partes: \displaystyle\int\sin^4 x\,dx e \displaystyle\int\cos^5 x\,dx. Para a primeira usaremos redução de potência; para a segunda, substituição u=\sin x.

Passo 2

Queremos
\int \sin^4 x\,dx.
Usando a fórmula de redução de potência:
\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sin^4 x = \bigl(\sin^2 x\bigr)^2 = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)\bigr).
Mas \cos^2(2x)=\tfrac{1+\cos(4x)}{2}, então
\sin^4 x = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2}\Bigr) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x).
Logo,
\int \sin^4 x\,dx = \int\Bigl(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\Bigr)dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{2} + \frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(4x)}{4} + C_1
= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C_1.

Passo 3

Agora
\int \cos^5 x\,dx.
Escrevemos \cos^5 x = \cos x\,( \cos^2 x)^2 = \cos x\,(1-\sin^2 x)^2. Fazendo a substituição
u = \sin x,\quad du = \cos x\,dx,
temos
\int \cos^5 x\,dx = \int (1 - u^2)^2\,du = \int \bigl(1 - 2u^2 + u^4\bigr)\,du = u - \frac{2}{3}u^3 + \frac{1}{5}u^5 + C_2.
Voltando a x:
\int \cos^5 x\,dx = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C_2.

Passo 4

Somando as duas partes e unificando a constante de integração C = C_1+C_2, obtemos
\int\bigl(\sin^4 x + \cos^5 x\bigr)\,dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C.

Resposta

\boxed{ \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C }.

Exercícios relacionados