Analise a convergência das integrais
\int_{1}^{+\infty} \frac{2}{e^{x}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{2}{e^{x}-1}\,dx.
O conteúdo envolve estudo de integrais impróprias no infinito e uso de comparação assintótica para verificar convergência.

Passo 2

Analisamos o comportamento do integrando quando x\to+\infty. Como e^{x}-1\sim e^{x}, temos
\frac{2}{e^{x}-1}\sim 2\,e^{-x}.
E a integral
\int_{1}^{+\infty}2e^{-x}\,dx
é convergente (decai exponencialmente). Portanto, pela comparação assintótica, a integral original também converge no infinito.

Passo 3

No limite inferior x=1, o integrando \tfrac{2}{e^{x}-1} é contínuo e finito, logo não há divergência na parte inferior do intervalo.

Passo 4

Como não há divergência no limite inferior e a parte no infinito é convergente, concluímos que
\int_{1}^{+\infty}\frac{2}{e^{x}-1}\,dx
é convergente.

Resposta

A integral converge.

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