Analise a convergência da integral abaixo. Se convergir, determine seu valor.
(1 0 p t s) integral2^infty 1x raiz[3](ln x)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral2^infty1xraiz[3](ln x)^4,dx
e, caso ela converja, determinar seu valor. Vamos usar troca de variável e o teste de p-integral para resolver.

Passo 2

Fazemos a substituição t = ln x. Assim, dt = dxx. Quando x varia de 2 a infty, t varia de ln 2 a infty. Logo,
integral2^infty1x(ln x)^4/3,dx = integralln 2^inftyt^-4/3,dt

Passo 3

Reconhecemos que integrala^inftyt^-p,dt converge se, e só se, p>1. Aqui p=tfrac43>1, portanto a integral converge.

Passo 4

Calculamos a primitiva de t^-4/3 por regra de potência:
integral t^-4/3,dt = t^-4/3+1-4/3+1 = t^-1/3-1/3 = -3,t^-1/3

Passo 5

Avaliando entre t=ln 2 e ttoinfty:
l[-3,t^-1/3r]ln 2^infty = l(-3cdot0r) ;-;l(-3,(ln 2)^-1/3r) = 3,(ln 2)^-1/3

Resposta

A integral converge e vale
integral2^infty1xraiz[3](ln x)^4,dx = 3(ln 2)^1/3

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