Identifique como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) as seguintes afirmativas, justificando suas respostas:
(1 0 p t s) lim x 1^+(1ln x-1x-1)=12.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o limite
L = limxto1^+l(tfrac1ln x-tfrac1x-1r)
e verificar se vale tfrac12. Aqui temos uma forma “ tfrac10^+-tfrac10^+” (ou seja, infty-infty), então vamos usar o desenvolvimento de Taylor de ln x perto de x=1.

Passo 2

Desenvolvendo ln x em torno de x=1, com t=x-1to0^+, temos
ln x = ln(1+t) = t - tfract^22 + o(t^2)
Logo,
1ln x = 1t - tfract^22 + o(t^2) = 1tl(1 - tfrac t2 + o(t)r) = 1tl(1 + tfrac t2 + o(t)r)

Passo 3

Substituindo em L:
1ln x - 1x-1 = 1tl(1 + tfrac t2 + o(t)r) - 1t = 1t + tfrac12 + o(1) - 1t = tfrac12 + o(1)
À medida que tto0^+, o termo o(1) some, ficando
L = tfrac12

Passo 4

Como o limite realmente é tfrac12, a afirmativa é Verdadeira.

Resposta

Verdadeiro (V)

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