Use o resultado do Exercício 33 para calcular a integral
integral0^ln 2 integral-1^1 raize^y+1 tg x d x d y
por inspeção. Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^ln 2integral-1^1raize^y+1,tan x,dx,dy
O que precisamos usar é que a função pode ser separada em parte que depende só de y e parte que depende só de x, e o resultado do Exercício 33, que estabelece que a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico em torno de zero é zero.

Passo 2

Como raize^y+1 não depende de x, podemos colocar essa expressão em fator fora da integral em x. Assim,
integral-1^1raize^y+1,tan x,dx =raize^y+1,integral-1^1tan x,dx
Reconhecemos que a integral em y será então
integral0^ln 2raize^y+1,gl(integral-1^1tan x,dxgr)dy

Passo 3

A função tan x é ímpar, pois tan(-x)=-tan x, e o intervalo de integração [-1,1] é simétrico em torno de zero. Pelo resultado do Exercício 33,
integral-1^1tan x,dx = 0
Logo, para todo y,
raize^y+1,integral-1^1tan x,dx =raize^y+1cdot 0 = 0,
e a integral dupla toda é zero.

Resposta

0

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