Identifique como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) as seguintes afirmativas, justificando suas respostas:
(1 0 p t s) a sequência an definida por an=2^n2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n) é monótona decrescente e convergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência an por
an = 2^n2cdot4cdot6cdotldotscdot(2n)
e pede para verificar se ela é monótona decrescente e se converge. O conteúdo necessário envolve manipular produtos fatoriais, testar monotonicidade via razão de termos sucessivos e determinar o limite de uma sequência.

Passo 2

Simplifico o denominador escrevendo-o como um produto de termos pares:
2cdot4cdot6cdotldotscdot(2n) = prodk=1^n (2k) = 2^nprodk=1^n k = 2^n,n!
Logo
an = 2^n2^n,n! = 1n!

Passo 3

Para testar a monotonicidade, calculo a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 1(n+1)!1n! = n!(n+1)! = 1n+1
Como 1n+1<1 para todo n>=1, temos an+1<an. Portanto, an é monótona decrescente.

Passo 4

Para verificar a convergência, noto que
limntoinfty an = limntoinfty 1n! = 0,
pois n! cresce sem limite. Logo a sequência é convergente.

Resposta

V

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