Analise a convergência ou não convergência das seguintes séries.
\sum \frac{n}{3^{n}}, \sum \frac{5^{n} n!}{n^{n}} \sum \frac{7}{n^{n}}
Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência das séries \sum \frac{n}{3^{n}}, \sum \frac{5^{n}n!}{n^{n}} e \sum \frac{7}{n^{n}}.
O conteúdo principal aqui são os testes de convergência: em particular o teste da razão e o teste da raiz de Cauchy, que permitem decidir se uma série com termos positivos converge ou diverge.

Passo 2

Analise de \sum \frac{n}{3^{n}}.
Definimos o termo geral
a_n = \frac{n}{3^n}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{3}.
Como L=\tfrac13<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Analise de \sum \frac{5^{n}n!}{n^{n}}.
Chamamos
b_n = \frac{5^n\,n!}{n^n}
e de novo usamos o teste da razão:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{5^{n+1}(n+1)!/(n+1)^{\,n+1}}{5^n\,n!/n^n} = \lim_{n\to\infty}5\cdot\frac{n+1}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot n^n = \lim_{n\to\infty}5\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n.
Mas \bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr)^n\to e^{-1}, logo
L = 5\,e^{-1} = \frac{5}{e}\approx1{,}84>1.
Como L>1, a série diverge.

Passo 4

Analise de \sum \frac{7}{n^{n}}.
Aqui é mais simples usar o teste da raiz: seja
c_n = \frac{7}{n^n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{7}}{n} = \frac{1}{\infty}=0.
Como esse limite é 0<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série \sum \frac{n}{3^{n}} converge.
A série \sum \frac{5^{n}n!}{n^{n}} diverge.
A série \sum \frac{7}{n^{n}} converge.

Exercícios relacionados