Analise a convergência ou não convergência das seguintes séries.
Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência das séries
,
e
.
O conteúdo principal aqui são os testes de convergência: em particular o teste da razão e o teste da raiz de Cauchy, que permitem decidir se uma série com termos positivos converge ou diverge.
O conteúdo principal aqui são os testes de convergência: em particular o teste da razão e o teste da raiz de Cauchy, que permitem decidir se uma série com termos positivos converge ou diverge.
Passo 2
Analise de
.
Definimos o termo geral
Definimos o termo geral
Aplicamos o teste da razão, calculando
Como
, a série converge absolutamente.
Passo 3
Analise de
.
Chamamos
Chamamos
e de novo usamos o teste da razão:
Mas
, logo
Como
, a série diverge.
Passo 4
Analise de
.
Aqui é mais simples usar o teste da raiz: seja
Aqui é mais simples usar o teste da raiz: seja
Calculamos
Como esse limite é
, a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge.
A série diverge.
A série converge.
A série
A série